电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第三章 分离变量法（4/4）

例题3设弦的一端(x=0)固定，另一端(x=L)以siot作周期振动，这里 o≠n元a/L(n=1,2…)且初值为零。试研究弦的自由振动。 解：定解问题为： &u 28u 812 0<x<L0) 0)=0L0=sn(o72 u(x,0)=0,u,(x,0)=0 令：(x,t)=V(x,t)+W(x,t) u(0,t)=0,u(L,t)=sinot →Wx-o=0,W|x-L=-sinwt

例题3 设弦的一端（x=0）固定，另一端（x=L）以sinωt 作周期振动，这里 ω≠nπa/L(n=1,2…)且初值为零。试研究弦的自由振动。 解：定解问题为：   2 2 2 2 2 , 0 , 0 (0, ) 0, ( , ) sin , ( ,0) 0, ( ,0) 0 t u u a x L t t x n a u t u L t t L u x u x                               令： u(x,t) V(x,t) W(x,t) u t u L t t (0, ) 0, ( , ) sin    W W t x x L   0   0, sin

Wo=0,W1=sin ot W(x,t)=A(t)x+B(t) →W(x,)=sin 代入原定解问题得到： dv 28v 0'x =a 812 dx?L sinot,(0<x<L,t>0) V(0,t)=0,V(L,t)=0 x0=0(x0=-2 该定解问题可以继续采用傅里叶级数法求解！在此略去。 注：W(x,t)的选取不唯一！不同的选取方式会给后续求解以不同的计算量！

代入原定解问题得到： ( , ) sin x W x t t L     2 2 2 2 2 2 sin , 0 , 0 (0, ) 0, ( , ) 0 ( ,0) 0, ( ,0) t V V x a t x L t t x L V t V L t x V x V x L                        W W t x x L   0   0, sin W x t A t x B t ( , ) ( ) ( )   该定解问题可以继续采用傅里叶级数法求解！在此略去。 注：W(x,t)的选取不唯一！不同的选取方式会给后续求解以不同的计算量！

u (0<x<L,1>0 下面给出例题3的如下边界条件齐次化方式： 2 根据原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次化， 1nπa u(0,1)=0,u(L,t)=sinot, 0丰 可假定： u(x,0)=0,4,(x,0)=0 W(x,t)=X(x)sinot 将u(x,t)=V(x,t)+X(x)sinot代入定解问题得到： -0>0 V-02X sinot=a'Vg+X"sinot,(0<x<L,t >0) 0=0L0=maot9）→ nπa V(0,t)+X(0)sinot=0,v(L,t)+X(L)sin ot=sinot, 0≠ L u(x,0)=0,4,(x,0)=0 (x,0)=0,,(x,0)+oX(x)=0

下面给出例题3的如下边界条件齐次化方式： 根据原定解问题边界条件特点，欲使边界条件齐次化， 可假定：   2 2 2 2 2 , 0 , 0 (0, ) 0, ( , ) sin , ( ,0) 0, ( ,0) 0 t u u a x L t t x n a u t u L t t L u x u x                               W x t X x t ( , ) ( )sin   将 u x t V x t X x t ( , ) ( , ) ( )sin    代入定解问题得到：   2 2 2 2 2 , 0 , 0 (0, ) 0, ( , ) sin , ( ,0) 0, ( ,0) 0 t u u a x L t t x n a u t u L t t L u x u x                                 2 2 sin sin , 0 , 0 (0, ) (0)sin 0, ( , ) ( )sin sin , ( ,0) 0, ( ,0) ( ) 0 tt xx t V X t a V X t x L t n a V t X t V L t X L t t L V x V x X x                                     