§6.1 Green公式 一、调和函数定义 在区域2内，=()有二阶连续偏导，并且满足 △u=0,I∈ u= w= 41n 1 4元ErMM。 2EN IMMo ↓ spherical harmonics of 出 Graduate Texts ↓ degree and order m in Mathematics Sheldon Axler Paul Bourdon Wade Ramey 以= w=In Harmonic Functionh 调和话数建论氧 EEAVENUA e=10.m=5
§6.1 Green公式 2 一、调和函数定义 u M0, 在区域 Ω内，u=u(M)有二阶连续偏导，并且满足 0 1 ln 2 MM q u r 0 4 MM q u r 0 1 MM u r 0 1 ln MM u r
二、调和函数性质 性质1设ucy,z)是区域2上的调和函数，则有 ∯ 0do=01 为区域2边界面T外法线方向 证明：第二Green公式 ∯(v-W0-dG=J∬(uAv-aw）aW 取v三1 Ou △u=0,△(1)=0，Vu…n= an 推论 △u=ue+uw+4za=0 有解的必要条件为 ∯pM)da=0 3
3 u u u u xx yy zz 0 u n 推论 有解的必要条件为 ( ) 0 M d 性质1 设u(x,y,z)是区域 Ω上的调和函数，则有 0 u d n n 为区域 Ω边界面Г外法线方向 取 v 1 0, (1) 0, u u u n n 证明：第二Green公式 u v v u d u v v u dV 二、调和函数性质
性质2设c,y,z)是区域2上的调和函数，则有 NOTE:第三Green公式+△u=0 (M)-∯品aog如r-ra
4 性质2 设u(x,y,z)是区域Ω上的调和函数，则有 0 0 1 1 1 ( ) , 4 MM u u M u d r r r n n r NOTE: 第三Green公式+ u 0 0 0 1 1 1 1 1 ( ) , 4 4 MM u u M u d u dV r r r n n r r
性质3设x,,z)是区域2上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的 算术平均值，即 uM,)=R∯auna TR以M为球心，R为半径的球面 TR 证明 a-女Lo-ra GEOMETRIC APPLICATIONS OF FOURIER SERIES 4元 AND SPHERICAL HARMONICS H.GROEME合 1 铺立时级蜚和球面调和函验的几何位用 4πR 达准婴
5 性质3 设u(x,y,z)是区域Ω上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的 算术平均值，即 0 2 1 ( ) ( ) 4 R u M u M d R ΓR以M0为球心 , R为半径的球面 0 0 1 1 1 ( ) , 4 R MM u u M u d r r r n n r 证明: 2 2 1 4 1 1 4 4 R R R u d ud n ud R R R 1 1 1 1 4 4 R R u d u d r n n r
三、最值原理 性质4设ux,z)是区域2上的调和函数，「+2上连续，则uk,,z)的最 大值和最小值都可以在边界面上达到. 证明：设(x,yz)在T上的最大值为C*,在2内部 点M(xo20)取得最大值C=(x20) R 反证法：设C*<Co 构造函数v(x,yz): Co-C v(x,y,z)=u(x,y,z)+ 8R2 MMo rMM,=V(x-x)2+(y-)2+(3-z)2,M,M∈2 6
6 性质4 设u(x,y,z)是区域Ω上的调和函数，Г+Ω上连续, 则 u(x,y,z)的最 大值和最小值都可以在边界面上达到. 0 0 * 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) 8 ( ) ( ) ( ) , , MM MM C C v x y z u x y z r R r x x y y z z M M 证明: 设u(x,y,z)在Г上的最大值为C*，在Ω内部 点M0 (x0 ,y0 ,z 0 )取得最大值 C0 =u(x0 ,y0 ,z 0 ) 反证法：设 C* < C0 三、最值原理 构造函数v(x,y,z) ： Г Ω R