电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第三章 分离变量法（4/4）

令：W(x,t)=A(t)x+B(t)…(6) W0=4,(0…(4) →40)=7,0-40lB0=40 Wx=L=4(t)…(5) mx)=2a0-4x+40 于是得：=r+

令： 于是得到： 0 1( ) (4) W u t x  2 ( ) (5) W u t x L  W x t A t x B t ( , ) ( ) ( ) (6)    ( ) ( ), ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 1 u t u t B t u t L A t     2 1 1  1 W x t u t u t x u t ( , ) ( ) ( ) ( ) L    2 1 1 u u u V u x L          

o'v 8r2 Ox? +f(x,t),(0<x<L,t>0) 原定解问题变为： Vl=0=VxL=0 …(7) r1-ae背- 其中： 0=0ra00 9=-40+020y ea-am4

原定解问题变为： 2 2 2 2 2 1 0 0 1 0 1 ( , ),(0 , 0) 0 (7) ( ), ( ) x x L t t V V a f x t x L t t x V V V V x x t                            其中： 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) (0) (0) (0) ( ) ( ) (0) u t u t f x t f x t u t x L u u x x u x L u u x x u x L                                                  

例题2采用函数代换法求如下不同类型非齐次边界齐次化函数W(x,七)。 1、4x0=4,(0),4|x=L=() 2、4,x-0=4(t),4k=L=4()） 3、ux=0=4(t),4xx=-L=42(t) 4、u+0%,4x=0=4(),u+024x-L=42(t) 解：1、作代换：(x,t)=V(x,t)+W(x,t) →Wo=40,WL=4,() 1、4xo=4(0),4x=L=4,()） W(x,t)=A(t)x+B(t) >W(x,t)=u,(t)+u2(t)x

例题2 采用函数代换法求如下不同类型非齐次边界齐次化函数W(x, t)。 1 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x L   0 1 2   2 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x L   0 1 2   3 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x x L   0 1 2   4 ( ), ( ) 、u u u t u u u t       1 0 1 2 2 x x x x L   解：1、作代换： u(x,t) V(x,t) W(x,t) 0 1 2 1 ( ), ( ) x x x L u u t u u t 、     0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x L     W x t A t x B t ( , ) ( ) ( )   1 2 W x t u t u t x ( , ) ( ) ( )  

2、4x-o=40),4x=L=4(0) u(x,t)=V(x,t)+W(x,t) 3、4k-0=4),4=L=42(0 2、.x-0=4(),uk=L=4,()） →Wxo=4(),W|x-L=() W(x,t)=A(t)x+B(t) →W(x,t)=4()x+2(t)-42(t)L u(x,t)=V(x,t)+W(x,t) Wxo=4(),Wx-L=4() 3、4x=0=4(t),4x=L=4,(t)） W(x,t)=A(t)x2+B(t)x W(x,0=40)x+9-4@x2 2L

2 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x L   0 1 2   u(x,t) V(x,t) W(x,t) 3 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x x L   0 1 2   0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x L     W x t A t x B t ( , ) ( ) ( )   2 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x L   0 1 2   1 2 2 W x t u t x u t u t L ( , ) ( ) ( ) ( )    3 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x x L   0 1 2   u(x,t) V(x,t) W(x,t) 0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x x L     2 W x t A t x B t x ( , ) ( ) ( )   2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) 2 u t u t W x t u t x x L   

4、u+04x=o=4(),u+c24xk=L=42() u(x,t)=V(x,t)+W(x,t) 4、u+Q4x=0=4(0),u+a,4k=L=4() →W+aW0=4),W+a,W|-L=4() W(x,t)=A(t)x+B(t)x a x2 注：以上均采用多项式函数待定

u(x,t) V(x,t) W(x,t) 1 0 1 2 2 ( ), ( ) W W u t W W u t       x x x x L   2 W x t A t x B t x ( , ) ( ) ( )   4 ( ), ( ) 、u u u t u u u t       1 0 1 2 2 x x x x L   4 ( ), ( ) 、u u u t u u u t       1 0 1 2 2 x x x x L   2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( , ) ( ) u t u t u t W x t u t x x L         注：以上均采用多项式函数待定