由负数定义,容易证明下面性质: 1)若x<0,则有-x>0 2)若x=y,则-x=-y; 4)-(x+y)=(-x)+(-y) 为了定义乘法,我们先要定义绝对值。设x≠0,称x与-x中的正实数为x的绝对值, 记作x|,规定|0}=0,于是 x,当x>0; lx0,当x=0 当x<0. 乘法的定义设有实数x>0,y>0,令 A={a1a210<a1∈A,0<a2∈A儿U{ala≤0.a∈Q} 则(A|B)是有理数的分划,我们称实数(A|B)是实数x与y的积,记作x·y 对于一般的情形,我们定义 lx|·|yl,(x、y同号) xy={-(x|yD,(x、y异号 (x=0或y=0) 显然,有|x·y=|x|·yl。 要定义除法,只要定义倒数 倒数的定义设x>0,令 A={a|-∈BU{a|a≤0,a∈Q}, A 则(4|B)是有理数的分划,我们称实数(4|B)是实数的倒数,记作x或1 当x<0时,定义x=-|x|,或-= 总之我们用有理数的加法和负数,来定义分划的加法和负数:对正实数情形,用有理数 的乘法和倒数,来定义分划的乘法和倒数,对一般的实数乘法和倒数,又化到正实数情形 3.2实数集是域
187 由负数定义，容易证明下面性质： 1） 若 x < 0，则有- x > 0； 2） 若 x = y ，则- x = - y ； 3） - (-x) = x ； 4） - ( x + y) = (-x) + (-y) 。 为了定义乘法，我们先要定义绝对值。 设x ¹ 0 ，称 x 与- x 中的正实数为 x 的绝对值， 记作| x | ，规定| 0 |= 0 ，于是 ï î ï í ì - < = > = , 0. 0, 0 , 0 | | x x x x x x 当 当 当 ； ； 乘法的定义 设有实数x > 0， y > 0，令 { | 0 0 } { | 0, } A = a1 × a2 < a1 Î Ax， < a2 Î Ay U a a £ a ÎQ ； B = Q- A。 则(A | B) 是有理数的分划，我们称实数(A | B) 是实数 x 与 y 的积，记作 x × y 。 对于一般的情形，我们定义： ï î ï í ì = = - × × × = 0 ( 0 0). (| | | |), ( ) | | | |, ( ) x y x y x y x y x y x y 或 异号 同号 ， 、 ； 、 ； 显然，有 | x × y |=| x | × | y | 。 要定义除法，只要定义倒数。 倒数的定义 设x > 0，令 } { | 0, } 1 { | = Î B 0 a a £ a ÎQ a A a x U ， B = Q- A。 则(A | B) 是有理数的分划，我们称实数(A | B) 是实数的倒数，记作 -1 x 或 x 1 。 当 x < 0时，定义 1 1 | | - - x = - x ，或 | | 1 1 x x = - 。 总之我们用有理数的加法和负数，来定义分划的加法和负数；对正实数情形，用有理数 的乘法和倒数，来定义分划的乘法和倒数，对一般的实数乘法和倒数，又化到正实数情形。 3.2 实数集是域
要证集合R是域,即要对上面定义的加法和乘法运算,满足下列性质: 交换律:x,y∈R,x+y=y+x,x:y=y·x 2)结合律:Vx,y,z∈R,(x+y)+z=x+(y+),(x·y)·z=x·(y·z); )x∈R, 0 4)Vx∈R,x+(-x)=0,x·x-1=1(x≠0) 5)分配律:x·(y+-)=x·y+x·二。 其中,记号1表示由有理数1所确定的有理分划。 前三条性质证明比较简单;第四条性质的证明,用到有理数的阿基米德原理:第五条 性质证明较烦琐。我们不打算讨论这些性质的证明,只以第四条加法为例,给出证明的示范 证明x+(-x)=0的困难,在于每一个负有理数,能否看成集合A2中的元素,与集合 A中的元素相加而得,或能否看成集合A中的元素,减去集合B中的元素而得,为此我 们需要下面引理 引理2给定实数x,V有理数E>0,则彐a∈A,b∈B,使b-a=E 证明由分划的不空性,彐a0∈A,b∈B2,根据阿基米德原理,彐自然数n,使得 nE>bo-ao,考察数 ao, ao+E, ao +28,. .,ao+nE(> bo) 在这有限个数中,总存在一个位于X下类中最大的数,记作 a=ao+E∈A2 若b=ao+(k+1)E不是上类的最小数,a、b即为所求。若b是上类的最小数,取 +(k+ 即成 证x+(-x)=0,即要证A4+-x)=A 设a∈A2-x),即a=a+a2,a1∈Ax,a2∈Ax。由负数定义知-a2∈ B cB, 所以-a2>41,得a1+a2=a<0,即a∈A0,因此A1(-x∈A 反之,若a∈A,有-a>0,根据引理2,存在a1∈A1,b∈B,且b1-a1=-a l88
188 要证集合 R 是域，即要对上面定义的加法和乘法运算，满足下列性质： 1) 交换律："x, y ÎR， x + y = y + x ， x × y = y × x ； 2) 结合律： "x, y, z ÎR，( x + y) + z = x + ( y + z) ，( x × y) ×z = x × ( y ×z) ； 3) "x ÎR， x + 0 = x ， x ×1= x ； 4) "x ÎR， x + (-x) = 0， 1 ( 0) 1 × = ¹ - x x x ； 5) 分配律： x ×( y + z) = x × y + x ×z 。 其中，记号1表示由有理数1所确定的有理分划。 前三条性质证明比较简单；第四条性质的证明，用到有理数的阿基米德原理；第五条 性质证明较烦琐。我们不打算讨论这些性质的证明，只以第四条加法为例，给出证明的示范。 证明 x + (-x) = 0的困难，在于每一个负有理数，能否看成集合 Ax 中的元素，与集合 A-x 中的元素相加而得，或能否看成集合 Ax 中的元素，减去集合 0 Bx 中的元素而得，为此我 们需要下面引理。 引理 2 给定实数x ，" 有理数e > 0，则$a Î Ax ， 0 Bx bÎ ，使b - a = e 。 证明 由分划的不空性，$a0 Î Ax ，b0 Î Bx ，根据阿基米德原理，$自然数n ，使得 n > b0 - a0 e ，考察数： a0 ， + e a0 ， 2e a0 + ， L ，a + ne 0 ( ) > b0 。 在这有限个数中，总存在一个位于 x 下类中最大的数，记作 Ax a = a0 + ke Î (k < n) 。 若 ( 1)e b = a0 + k + 不是上类的最小数，a 、b 即为所求。若b 是上类的最小数，取 )e 2 1 ( a = a0 + k + ， )e 2 3 ( b = a0 + k + 即成。 证 x + (-x) = 0，即要证 Ax+(-x) = A0 。 设 Ax ( x) a Î + - ，即a = a1 + a2，a1 Î Ax ，a2 Î A-x 。由负数定义知 Bx Bx - a Î Ì 0 2 ， 所以- a2 > a1，得a1 + a2 = a < 0 ，即a Î A0 ，因此 Ax+(-x) Ì A0 。 反之，若a Î A0 ，有 - a > 0 ，根据引理 2，存在a1 Î Ax ， 0 1 Bx b Î ，且b1 - a1 = -a