3、结论 (1)a·a=(a2; (2)a⊥b今a·b=0 证(2)必要性a⊥b,则O=x,于是 a·b= allocas 充分性a·b=0,即|al|bcos0=0 情形Icos=0,则9=z,即a⊥b。 2 情形Ⅱ|a=0或=0,a、b中至少有一个是 零向量,即a⊥b D合
3、结论 （1）a ∙ a = |a| 2； （2） 证 （2）必要性 a⊥b，则 ，于是 a ∙ b=|a||b|cosθ 充分性 a ∙ b = 0 , 即 |a||b|cosθ= 0 情形Ⅰ cosθ= 0，则 ，即a⊥b。 情形Ⅱ |a| = 0或|b| = 0，a 、b中至少有一个是 零向量，即a⊥b。 2 = 2 = a ⊥b ab = 0
4、数量积的坐标表示式 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), a·b=x1x2+y1y2+x1a2 即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。 证由向量a、b的单位坐标向量分解式 a=xe tyre+ze3 b=x2e+ e2+z,e3 D合
4、数量积的坐标表示式 设向量 a = (x1 , y1 , z1 ) , b = (x2 , y2 , z2 ) , 则 a ∙ b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。 证 由向量a、 b的单位坐标向量分解式 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 b e e e a e e e x y z x y z = + + = + +
A a b=(xe, +y,e2+2,e3) (x,e ,+y2e2+ze3) xire'etXy2e'e2+XiZ2e'e +2ye2e1+y1y2e2E2+y122e2e3 tozer e,t yzeretzize 3 2 233 由于 (i2j=1,2,3) ≠J 因此a·b=x1x2+yy2+x1a2证毕 D合
得 由于 因此 a ∙ b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 证毕 ( ) ( ) 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 a b = x e + y e + z e x e + y e + z e 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 = x x e e + x y e e + x z e e 2 1 2 2 2 3 + e e + e e + e e 2 1 1 2 1 2 x y y y y z 3 1 3 2 3 3 + e e + e e + e e 2 1 2 1 1 2 x z y z z z ( , 1, 2 , 3) 0 1 = = = i j i j i j e e i j
5、坐标计算向量的夹角 设:≠0,b≠0,由数量积定义,有 a·b COS 6 la‖b y1y2+2122 2 X+ vi+ z2x2+y2+2 D合
5、坐标计算向量的夹角 设 a≠0 , b≠0 , 由数量积定义，有 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 x y z x y z x x y y z z + + + + + + = | || | cos a b a b =