《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分 3-1 函数的局部变化率——导数

导数的概念与几何意义二、定义设函数f(x)在点x,的某一邻域内有定义,当x在x,处有增量△x时，函数f(x)有增量,以的Ay=f(x+x)-f(x),若当△x →0时Ax极限存在,则称该极限值为y=f(x)在x,处的dy或或 f'(x)导数，记作"dxX=XoX=X0

极限存在， 二、导数的概念与几何意义 d 记作 或 或 0 d 0 0 ( ). x x x x y y f x x = =   0 设函数f x x ( )在点 的某一邻域内有 0 当x x x 在 处有增量 时， 0 0  = + − y f x x f x ( ) ( ), 函数f x( )有增量 导数， 定义 0 则称该极限值为y f x x = ( )在 处的 y x   的 定义， 若当 →x 0时

f(x, +△r)- f(x.)Aylimlimx=XoAxAxAx-→0Ar-→0A→0台x→x若令x=x,+△x，该定义也可以写成f(x)- f(xo)f'(x) = limx→xox-Xo若该极限不存在，则称函数在点x,处不可导

0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x → x x −  = − 0 若令x x x = +  , 0  →  → x x x 0 该定义也可以写成 若该极限不存在，则称函数在点x0 处不可导. 0 0 0 0 0 ( ) ( ) x x lim lim x x y f x x f x y x x =  →  →  +  −  = =  

Ay当△x→0时?f'(x)Axyty=f(x)Ay斜率是MArAyM.f(xo)斜率是f'(xo).............Ar +ArxXo0

x y o y = f (x) 0 f x( ) x y x + x x0 0 M0 M y x   斜率是 0 斜率是 f x ( ) 当 时， 0 0 ( ). y x f x x   → →  

注意：(1)Ay是平均变化率Ax导数是平均变化率的极限Ayf'(x.)= lim是瞬时变化率Ax->0 △x(2)是表示导数的一个整体符号，（3）点导数是因变量在这点的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度

注意： 0 0 ( ) lim x y f x  → x   =  是瞬时变化率 y x   是平均变化率 导数是平均变 化率的极限 （1） （2） d d y x 是表示导数的一个整体符号. （3）点导数是因变量在这点的变化率，它反 映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度

回顾原型一与原型二1.切线问题切线的斜率为 k=tanαf(x)- f(xo)= limx-→xox-xo= f'(x).2.自由落体运动的瞬时速度问题S-S.瞬时速度S'(t).limt=tot-→tot-to

2.自由落体运动的瞬时速度问题 瞬时速度 0 0 0 0 t t lim t t S S v t t = → − = − 0 = S t ( ). 1.切线问题 切线的斜率为 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x → x x − = − 0 = f x ( ). 回顾原型一与原型二 k = tan