第东章 导数与微分 高等数学少学时 (tanx)=secx 类似地，有 (cotx)=-cse"x 例5 设= xtanx, 求y. 1+cotx 解y-（am0+cot-xam+coty (1+cotx) (tanx+xsecx1+cotx)+xtanxcsc2x (1+cotx)》 北京邮电大学出版社 6
6 ( x) x 2 tan = sec ( x) x 2 cot = −csc 类似地，有 . 1 cot tan y x x x y + 设 = ，求 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 cot tan 1 cot tan 1 cot x x x x x x x y + + − + = ( )( ) ( ) 2 2 2 1 cot tan sec 1 cot tan csc x x x x x x x x + + + + = 例5 解
第工章 导数与微分 高等数学少学时 例6设y=secx,求y' 解y-6j-(aj小-0soa cos2 x sinx secxtanx cos2 x (secx) =secxtanx 类似地有 (cscx)--csexcotx 北京邮电大学出版社 07
7 ( ) ( ) x x x 2 cos 1 cos 1 cos − = x x x x sec tan cos sin 2 = = (secx) = secx tan x 类似地有 (csc x) = −csc x cot x 例6 设y = secx, 求y . 解 ( ) = = x y x cos 1 sec
第女章 导数与微分 高等数学少学时 二、反函数的求导法则 定理2如果函数=f(y)在某区间亚，内单调、可导且 '(y)≠0，则它的反函数=()在对应的区间内也可导，且 y 或 d d 少y 证x∈I,给x一增量△x(△x≠0，x+△x∈Ix)则有Ay≠0， 由y=f(x)的连续性知，x→0时，△y→0.则有 1 1 lim y lim lim △x→0 △x △x→0 △x △y-0△x f'(y) y y 北京邮电大学出版社
8 二、 反函数的求导法则 如果函数x = f ( y)在某区间I y 内单调、可导且 f ( y) 0,则它的反函数y = f −1 (x)在对应的区间I x内也可导,且 定理2 ( ) f ( y) f x = −1 1 dy dx dx dy 1 = 或 , x x I ( 0, ), x 给x一增量x x x + x I 则有y 0, x y x →0 lim y x x = → 1 lim 0 . ( ) 1 f y = 证 y y x = → 1 lim 0 ( ) 0 0. 由y = f −1 x 的连续性知，当x → 时 ，y → 则有
第东章 导数与微分 高等数学少学时 例7设y=(a>0,a≠1)，求y'. 解因为y=a是x=l0gy的反函数，而x=l0gJ在0，+oo)内 单调可华，且e=。所以 gae'ha yIna (a)-ama 特别地 (e)=e 北京邮电大学出版社
9 例7 y = a (a 0,a 1), y . 设 x 求 解 ( ) = x y a (a ) a a x x = ln 特别地 ( ) = y a log 1 y ln a 1 1 = y lna a lna. x = = ( ) x x e = e 因 为y = a x 是x = loga y的反函数， ( ) 0, ln 1 log = y a ya 而x = loga y在（0,+ ）内 单调可导，且 所以
第章 导数与微分 高等数学少学时 例8求y=arcsinx的导数 解 因为y=arcsin x,是x=siny的反函数，而c=siny 在(-7，牙)内单调、可导，且c0sy>0,则 2’2 mm时 cosy-V1x an)=己文 类似地，可推出 (arctanx)= 1+x2 (arccotx)-- 1+x2 北京邮电大学出版社 010
10 例8 在 )内单调、可导， 2 , 2 ( − 且cos y 0, 求 y = arcsin x 的导数. 解 因为y = arcsin x, 是 x = sin y的反函数，而x = sin y 则 ( ) arcsin x ( ) = sin y 1 cos y 1 = . 1 1 2 − x = ( ) 2 1 1 arcsin x x − = ( ) 1 1 arccos 2 x x − = − ( ) 2 1 1 arctan x x + = ( ) 2 1 1 arc cot x x + = − 类似地，可推出