例1设C>0,证明由迭代格式 x=2(x+C(n=0,1, 产生的迭代序列{化，}，对任意的x>0,均收敛于√C;且具有2阶 收敛速度。 分析：由迭代格式，有 1(x+C) 2 +Cl-NG 2-2c+0=2-0可 xr-VC 1 (x,-VC)22x, lim x, n->oo 6/23
6/23 ( ) 2 1 1 n n n x C x x C 例1 设C>0，证明由迭代格式 ( n= 0，1， ……) 产生的迭代序列 {xn}，对任意的x0>0，均收敛于 ;且具有 2 阶 收敛速度。 ( ) 2 1 1 n n n x C x x C 分析：由迭代格式，有 ( ) 2 1 2 1 x C x x n n n C n n n x C x x C 2 1 ( ) 2 1 C x C x C x n n [ n ] 2 1 1 2 2 ( ) 2 1 [ 2 ] 2 1 x C x x x C C x n n n n n lim ? n n x
证明：由迭代格式，有 X+1= (x+C) 2Xn 等式两端同减√C,配方得 x--) 2Xn 同理有 xn+VC 1(xn+c)月 2X n 7/23
7/23 ( ) 2 1 1 n n n x C x x C 证明：由迭代格式，有 ( ) 2 1 2 1 x C x x n n n C 等式两端同减 C ，配方得 2 1 ( ) 2 1 x C x x C n n n 同理有 2 1 ( ) 2 1 x C x x C n n n
将上面两式相除有 泥德 (x。+C月 反复递推，得 泥-经-”宫 2n+ 令q=,g 则有 七，+ g xn-VC 化简得 lim x,=VC n-→co x。=VC1+g 1-g29 8/23
8/23 将上面两式相除有 2 2 1 1 ( ) ( ) x C x C x C x C n n n n 反复递推，得 1 2 0 2 2 0 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n x C x C x C x C x C x C x C x C n n n n n n 令 x C x C q 0 0 则有 n q x C x C n n 2 化简得 n n q q x n C 2 2 1 1 xn C n lim