§3变量连续变化的数学模型 连续函数 §31连续函数的概念和连续函数 求极限的法则
§3 变量连续变化的数学模型 ——连续函数 §3.1 连续函数的概念和连续函数 求极限的法则
连续函数的概念 函数的增量: 设函数y=f(x)的定义域为X,如图所示 △x=x-x0,称为自变量 f(r 在点x0的增量 △ Δy=f(x)-f(x) 或Δy=f(xa+△x)-f(xo) dxx+ax文称为函数的增量
一、连续函数的概念 函数的增量: 设函数y=f(x)的定义域为X,如图所示 x=x−x0 ,称为自变量 在点x0的增量 x y 0 0 x x + x 0 y = f (x) x y y=f(x)−f(x0 ) 或 y=f(x0+x)−f(x0 ) 称为函数的增量
定义1设函数(x)在点x及其邻域有定 义,当x->x时fx)的极限存在,且等于该 点处的函数值fx),即limf(x)=f(x) 则称函数f(x)在点x处连续,x称为函数 fx)的连续点 如果函数在某一区间的任意一点都 连续,则称此函数是该区间上的连续函数 连续函数的图形是一条连续而不间 断的曲线
设函数f(x)在点x0及其邻域有定 义,当x→x0时f(x)的极限存在,且等于该 点处的函数值f(x0 ), 即 定义1 则称函数f(x)在点x0处连续, x0称为函数 f(x)的连续点 如果函数在某一区间的任意一点都 连续,则称此函数是该区间上的连续函数 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 连续函数的图形是一条连续而不间 断的曲线
XsIn X≠ 0 例1证明函数∫(x)= x=0 在x=0处连续 证]∵: lim rsin-1=0 又八(0)=0则limf(x)=f(0) :-)0 由定义1知,函数fx)在x=0处连续
例1 证明函数 = = 0, 0 , 0 1 sin ( ) x x x x f x 在x=0处连续 [证] 0 1 lim sin 0 = → x x x 又f(0)=0 则 lim ( ) (0) 0 f x f x = → 由定义1知, 函数f(x)在x=0处连续
定义2设函数fx)在点x及其邻域有定 义,当△x=x-x0>0时,△=fx)-fx)→>0 即lm△y=0,则称函数fx)在点x处连 △x→>0 续 函数在一点处连续的本质特征: 自变量变化很小时,函数值的变化也很小
,则称函数f(x)在点x0处连 续 设函数f(x)在点x0及其邻域有定 义,当x=x−x0→0时, y=f(x)−f(x0 )→0, 即 定义2 lim 0 0 = → y x 函数在一点处连续的本质特征: 自变量变化很小时,函数值的变化也很小