s33闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值定理 介值定理
§3.3 闭区间上连续函数的性质 一、最大值和最小值定理 二、介值定理
、最大值和最小值定理 定理1(最大值和最小值定理)闭区间上 的连续函数一定存在最大值和最小值 至少存在一个 p=/)/最高点x1,x1)和 最低点(x2,f(x2) 使得x∈[a,b 2xibx 有fx1)=fx) fx2)≤f(x)
一、最大值和最小值定理 定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上 的连续函数一定存在最大值和最小值 b x y o y = f (x) a x1 x2 至少存在一个 最高点(x1 , f(x1 ))和 最低点(x2 , f(x2 )), 使得x[a,b] 有f(x1 )≥f(x) f(x2 )≤f(x)
注意:1.若区间不是闭区间,定理不一定 成立 2.若区间内有间断点,定理不一定 成立 y=f(x) y=f(x)
1. 若区间不是闭区间,定理不一定 成立 2. 若区间内有间断点,定理不一定 成立 注意: x y o y = f (x) 1 2 1 x y o 2 y = f (x)
,x<0 例如符号函数f(x)=sgnx={0,x=0 x>0 不是连续函数但它既存在最大值也存 在最小值 应注意条件与结论之间的逻辑关系 推论(有界性定理)在闭区间上连续的 函数一定在该区间上有界
,但它既存在最大值,也存 在最小值 推论(有界性定理) 在闭区间上连续的 函数一定在该区间上有界 = − = = 1, 0 0, 0 1, 0 ( ) sgn x x x 例如,符号函数 f x x 不是连续函数 应注意条件与结论之间的逻辑关系
介值定理 定理2(介值定理)若函数f(x)在闭区间 a,b上连续,且fa)≠(b),m为介于fa)与 fb)之间的任意一个数,即fa)nfb)或 fa)>y(b),则至少存在一个内点ξe(a, b),使得f2)=7 y=f(r) 连续曲线弧yfx)T 与水平直线y=m至 少有一个交点 0a b x
二、介值定理 定理2(介值定理) 若函数f(x)在闭区间 [a,b]上连续,且f(a)f(b), 为介于f(a)与 f(b)之间的任意一个数,即f(a)<<f(b)或 f(a)>>f(b),则至少存在一个内点(a, b),使得f()= a x y o y = f (x) 1 2 3 b 连续曲线弧y=f(x) 与水平直线y=至 少有一个交点