性质3(保序性)设f(x)和g(x)都在[ab上可积,且在[a,b]上恒有 f(x)≥g(x),则成立 f(x)dx2 g(x)di 证我们只要证明对[a,b上的非负函数f(x),成立 f(x)dx≥0。 由于在{a,b上f(x)≥0,因此对[a,b的任意一个划分 x0<x1<x2<…<xn=b 和任意点5∈[x-1,x],有 ∑f(5)x≥0。 令=max(Ax)→0,即得到 l≤i≤n J(x)x=im∑f(5)Ax20
性质 3（保序性）设 f (x)和 g( x)都在[a, b]上可积，且在[a, b]上恒有 f (x) g(x)，则成立 ( )d ( )d b b a a f x x g x x 。 证 我们只要证明对[a, b]上的非负函数 f (x)，成立 ( )d 0 b a f x x 。 由于在[a, b]上 f (x) 0，因此对[a, b]的任意一个划分 a = x0 x1 x2 xn = b 和任意点 1 [ , ] i i i x x − ，有 1 ( ) 0 n i i i f x = 。 令 1 max( ) 0 i i n x = → ，即得到 0 1 ( )d lim ( ) 0 n b i i a i f x x f x → = =
性质4(绝对可积性)设f(x)在{a,b上可积,则f(x)在[a,b上 也可积,且成立 f(x)dx≤f(x)|dxo 证由于对于任意两点籴和x,都有 If(il-If(x)l slf(i)-f(x)l 仿照性质2的证明即可证得|f(x)在[a,b上可积 又因为对任意x∈[a,b],成立 f(x)≤f(x)≤f(x), 由性质3得到 ∫1()dsx)dxs∫nx)dr 这就是 f(xdx
性质 4（绝对可积性）设 f (x)在[a, b]上可积，则 | f (x) | 在[a, b]上 也可积，且成立 ( )d | ( ) | d b b a a f x x f x x 。 证 由于对于任意两点x 和~ x ，都有 | | ( )| | ( ~)| | | ( ) ( ~ f x − f x f x − f x ) | ， 仿照性质 2 的证明即可证得 | f (x) | 在[a, b]上可积。 又因为对任意 x [a,b]，成立 − | f (x)| f (x) | f (x) | ， 由性质 3 得到 | ( ) | d ( )d | ( ) | d b b b a a a − f x x f x x f x x ， 这就是 ( )d | ( ) | d b b a a f x x f x x
要注意的是,性质4的逆命题不成立,也就是说,由(x)在[a,b 上的可积性并不能得出f(x)在[a,b上的可积性 反例 x为有理数 f(x)= x∈[0,]。 1,x为无理数
要注意的是，性质 4 的逆命题不成立，也就是说，由 | f (x) | 在 [a, b] 上的可积性并不能得出 f (x)在[a, b]上的可积性。 反例： − = 1, , 1, , ( ) 为无理数 为有理数 x x f x x [0,1]