第二节换元积分法第一换元积分法第二换元积分法小结思考题
第二节 换元积分法 ◼ 第一换元积分法 ◼ 第二换元积分法 ◼ 小结 思考题
cos网= sinx +C第一换元积分法一、今cos2xdxsin2x+C(sin2x) = 2cos2x ± cos2x解决方法 将积分变量换成2x.因为dx2令 t=2x =dx=dt,2C[ cos2xdxsintdtCOS22t =2x11dt一sin2x + C22
cos2xdx sin2x +C 解决方法 将积分变量换成 令 t = 2x cos2xdx cost dt 2 1 = = sint + C 2 1 = sin2x + C 2 1 ( ) = sin2x cos2x = cos xdx = sin x +C 2cos2x 2x. 因为 dx = d(2 ) 2 1 x d , 2 1 dx = t t dt 2 1 t = 2x 一、第一换元积分法
注“凑微分”的主要思想是：将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选:u=β(x)是微分的关键[ f[p(x)p(x)ax =[ f[p(x)]d@(x)μ=([[ f(u)du l-0(x)第一类换元公式（凑微分法）证(J f[g(x)]p'(x)dx)= f[g(x)]g'(x)(J f(u)du)’=( f(u)du)" u'= f @'(x)p(x)= f(p(x)p(x)
定理 f[(x)](x) dx = f (u)du 第一类换元公式 f[(x)]d(x) u = (x) （凑微分法） 证 ( f[(x)](x)dx) x = f [(x)](x) ( f (u)du) x = ( f (u)du) u ux = f ((x))(x) u = (x) 可导, 则有换元公式 设 f (u) 具有原函数, 注 “凑微分”的主要思想是:将所给出的积分 凑成积分表里已有的形式,合理选择 是凑微分的关键. u = (x) = f (u)(x) (x) u=( x)
第一换元积分法若遇到积分f[p(x)lp'(x)dx不易计算时,通过变换u=(x)化为不定积分[ f(u)du来计算,积分后再将u=(x)代入
第一换元积分法 若遇到积分 不易计算时,通过变换 u = (x) 化为不定积分 来计算, f (u)du 积分后再将 u = (x) f[(x)](x)dx 代入
sinxdx = -cosx + C例1 求「sin2xdx21U=解法一sin2xdx :2x1(2xsinC2.1uducosu+Csin22ru+11+C"dxcos2x + Cμ+12法二sin 2xdx =I sin x Cos xdx= 2[ sin xd(sin x)=sinX2[ udu= u? + C= (sinx) +C
例1 求 sin2xdx 法一 sin2xdx sin2 d = x = − cos 2x + C 2 1 法二 sin2xdx = 2 sin xcos xdx = 2 sin xd(sin x) = ( x) + C 2 sin u = 2x = sinudu 2 1 u = sin x = − cosu +C 2 1 2 udu= u + C 2 2 1 解 (2x) x x = − x + C sin d cos C x x x + + = + 1 d 1