即 f lim f(xo+Ax,vo)-f(xo:Yo) △x→0 △x Y=Yo 同理可定义函数z=f(x,y)在点(x0)处对y的偏 导数为 lim (o:yo+)-f(xo:) △y-→0 Ay 记为 器 x=xo ·4支，w y-Yo =y0 "y-Yo
同理可定义函数z f x y),( 在点 ),( 00 x y 处对 y 的偏 导数为 y f x y y f x y y ),(),( lim 00 00 0 记为 0 0 yy y xx z ， 0 0 yy y xx f ， 0 0 yy z y xx 或 ),( 00 f x y y . . ),(),( lim 0 0 00 0 0 0 x yxfyxxf x f x yy xx 即
偏导（函）数 设z=f(x,y)在区域D内每点(x,y)的偏导数都存在， 即听.k)=m+A)-x △x 则fx(x,y)称为函数z=f(x,y)关于自变量x的偏导数。 偏导函数∫(x,y)与f(x),∫，(x)的关系： f(x,y)==f(o,) y=Yo f(x,y)=6=f(x,) y=yo
偏导 )( 数函 设 yxfz ),( 在区域D内每点 yx ),( 的偏导数 即 x yxf ),( 0 limx x yxxf ),( yxf ),( 则 x yxf ),( 称为函数 yxfz ),( 关于自变量 x的偏导数。 偏导函数 与 f x (, ) x y fxy fxy x y ( , ), ( , ) 00 00 的关系： 0 0 0 0 (, ) ( , ) x xx x y y f xy f x y 0 0 0 0 (, ) ( , ) y xx y y y f xy f x y 都存在
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如，三元函数u=fc,y,z)在点（心，y,z)处对x的 偏导数定义为 f(.y.)=lim ()-f.y.) △x-→0 △x f(x,y,z)=? f(x,y,z)=?
f yx z),,( x 例如, 三元函数 u = f (x , y , z)在点(x , y , z)处对x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数. lim 0 x f y z),, ( f y z),,( x xx f yx z ?),,( y f x y z ?),,(z x 偏导数定义为
偏导数的计算 对二元函数=f化，y: 02 视y为常数，对x求导数； 8x 8z -一视x为常数，对y求导数。 8y 同理，对三元函数=f(化，，： Bu Ox -视，均为常数，对x求导数；其余类推
对二元函数z= f (x, y)： x z ---视y为常数， 对x求导数； y z ---视x为常数， 对y求导数。 同理，对三元函数u= f (x, y, z): x u ---视y,z均为常数，对x求导数；其余类推。 偏导数的计算
例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数. 解法1： =2x+3y, Ox 02 3x+2y 2y-21+328 0z 0z ∂y0,2)=31+2.2=7 解法2：，-2=x2+6x+4 8 6x(12)=(2x+6x=1=8 2x1=1+3y+y2 部0+20=9
例1 求 2 2 3 yyxxz 解法1: xz x )2,1( z 解法2: x )2,1( z 在点(1, 2)处的偏导数. y )2,1( z x y ,32 yz x 23 y ,82312 y )2,1( z 72213 46 2 xx 1 )62( x x 8 x1 z 2 31 yy 2 )23( y y 7 y2 z