南阳师范学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）第三章中值定理与导数的应用.pdf

南阳师范学院一数学与统计学院《高等数学》第三章一中值定理与导数的应用 =f+fXx-组x- 2 练习题(A) 其中5在和x之间。 () 一、判断正误题（刺断下列各愿是香正确，正确的划1，帽黄的划×）（3)质致y=一m在受引上单调送或 () (1)可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点 () (14)如果函数在某驻点两边的导数同号，则不改变函数的单调性 () (2)若罗尔定理的三个条件有一个不成立，则定理的结论可能不成立 () (15)曲线y=ln-x)在(-n,0)是凹的. () (3)若数fx)在a,]上连续.在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则方程f"(x)=0在 (16)若y=∫(x)在定义域内一阶导数单调.则曲线y=f(x)无拐点. () (a,b)内至少有一个实根. () (17)函数的极值点可能在区间内部取得，也可能在端点取得。 () (4)在两个高度相同的点之间的连续曲线上，若除去端点外的每一点都有不垂直于轴的切线， (18)函数的极大值不一定比极小值大 () 则其中必至少有一条水平切线· () 二、填空题（将正精答案填写在横线上） (5)若函数y=fx)在压，x+△r]上连续，在(x,x+△x)内可导，则必有4y=f(x+r)Ax (1)下列函数中满足罗尔定理条件的是() 其中0<0<1 () A:fx)=sgnx,xe-l,B:fx)=,x∈-l刂 (6)在两个高度不相同的点之间的连续曲线上，若除去端点外的每一点都有不垂直于轴的切 ca·九aha后爱线，则其中必至少有一条切线平行于两端点的连线 () (2)设函数f(x)=(x2+x-2)c0sx,则方程(x)=0在（仁2，x)内根的个数是(） (7)若函数f(x)在[a,b1上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则至少有一点5∈(a,b) A:0个B:至多一个C:至少3个 D:2个 (3)下列函数中满足拉格朗日中值定理条件的是() 使得f(x)在5处的瞬时变化率等于f(x)在a,b上平均变化率 () (8)f(x)=C(常数)(（x∈)白f(x)=0(x∈I). () xe[-1I] (9)至少存在一点5∈(a,b),使得e(sinb-sina)=(e°-e)cos5 () 0,x=0 （1o)若imf因不存在，则mf但也一定不存在 () e-a受 g'(x) g(x) 若mg在，则im但-m细 () c:f(x)= xe[-1I] g'(x) g(x) g'(x) 0,x=0 (12)若f(x)在点x=x。处的第近有连续的二阶导数，则第1页共3页

南阳师范学院—数学与统计学院第 1 页共 3 页《高等数学》第三章-——中值定理与导数的应用练习题（A）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点. （）（2）若罗尔定理的三个条件有一个不成立，则定理的结论可能不成立. （）（3）若函数 f ( ) x 在[,] a b 上连续，在 (,) a b 内可导，且 f () () a fb = ，则方程 f x ′() 0 = 在 (,) a b 内至少有一个实根. （）（4）在两个高度相同的点之间的连续曲线上，若除去端点外的每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必至少有一条水平切线 . （）（5）若函数 y fx = ( ) 在[, ] x x x + Δ 上连续，在(, ) x x x + Δ 内可导，则必有 Δ= +Δ Δ y fx x x ′( ) θ 其中0 1 < < θ . （）（6）在两个高度不相同的点之间的连续曲线上，若除去端点外的每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必至少有一条切线平行于两端点的连线. （）（7）若函数 f ( ) x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，且 f () () a fb = ，则至少有一点ξ ∈(,) a b 使得 f ( ) x 在ξ 处的瞬时变化率等于 f ( ) x 在[,] a b 上平均变化率. （）（8） f ( ) x C≡ （常数）( ) ∀ ∈x I ⇔ f x ′() 0 = ( ) ∀x∈ I . （）（9）至少存在一点ξ ∈(,) a b ，使得 (sin sin ) ( ) cos b a e b a ee ξ − =− ξ . （）（10）若 ( ) lim ( ) f x g x ′ ′ 不存在，则 ( ) lim ( ) f x g x 也一定不存在. （）（11）若 ( ) lim ( ) f x g x ′ ′ 存在，则 ( ) lim ( ) f x g x = ( ) lim ( ) f x g x ′′ . （）（12）若 f ( ) x 在点 0 x = x 处的邻近有连续的二阶导数，则 2 0 00 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 f f x fx f x x x x x ′′ ξ = + −+ − ′ ，其中ξ 在 0 x 和 x 之间. （）（13）函数 2 y = −x x sin 在[ ,] 2 2 π π − 上单调递减. （）（14）如果函数在某驻点两边的导数同号，则不改变函数的单调性. （）（15）曲线 y = ln( ) −x 在( , 0) −∞ 是凹的. （）（16）若 y = f x( ) 在定义域内一阶导数单调，则曲线 y = f x( ) 无拐点. （）（17）函数的极值点可能在区间内部取得，也可能在端点取得. （）（18）函数的极大值不一定比极小值大. （）二、填空题（将正确答案填写在横线上）（1）下列函数中满足罗尔定理条件的是（） A： f x xx ( ) sgn , [ 1,1] = ∈ − B： fx xx ( ) , [ 1,1] = ∈− C： 3 fx x x ( ) , [ 1,1] = ∈− D： 5 ( ) ln sin , [ , ] 6 6 f x xx π π = ∈ （2）设函数 2 f ( ) ( 2) cos x xx x = +− ，则方程 f x ′() 0 = 在( 2, ) − π 内根的个数是（） A：0 个 B：至多一个 C：至少 3 个 D：2 个（3）下列函数中满足拉格朗日中值定理条件的是（） A： 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = ， x∈ −[ 1,1] B： f ( ) sin x x = ， [ ,] 2 2 x π π ∈ − C： 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = ， x∈ −[ 1,1]

南阳师范学院一数学与统计学院 D:f(x)= 过，x0 ·xe[-l,] (8)下列不是曲线y 5渐近线的是() 0x=0 A:y=0 B:x=1 E.f()=.xe[-LI] C:x=-1 D:y=r+bk≠0) (4)如果函数在定义区间上连续，除去有限个点外导数处处存在，则函数单调区间的分 (9)下列结论错误的是( 界点( A:闭区间上连续函数的最值可能在区间端点、驻点及不可导点处取得 A:一定是驻点 B:一定是导数不存在的点 B:闭区间上连续函数的最值可能在区间端点、及极值点处取得 C:可能是驻点也可能是一阶导数不存在的点 D:一定是极值点 C:若闭区间上连续函数的最值在区间内取得，则最值一定是函数在区间内所有 (5)若点(，f(》是曲线y=f(x)的拐点，则（）极小值中的最小者 A:必有f"()=0 B:f“(红)一定不存在 D:闭区间上连续函数的最大值一定是函数所有极值和函数在区间端点的函数值 C:可能是f"(x)也可能是f"()不存在 D:以上答案都不正确中最大者 (6)下列结论正确的是() (10)不能直接使用洛必达法则求极限的是( A:若函数f(x)在点x的左第域内∫(x)>0,在点x的右邻域内f"(x)<0,则x是 fx)的极小值点 -婴品 c B:若函数fx)在点无的左邻域内(x)<0,在点x的右邻域内f"(x)>0,则x。是 a0+边 x E=兴 f(x)的极大值点 n (11)下列结论正确的是( C:如果y=f(x)在区间I内单调，则在区间I内没有极值点 A:x=0是函数f(x)=闪的极大值点 D:如果函数f八x)在点无处左、右近旁的导数同号，则点无是函数y=f(x)的极值点 B:若函数f(x)在点处二阶可导，且f"(,)>0,则x。是f(x)的极小值点 (7)下列结论错误的是() C:设函数f(x)具有二阶导数.且∫"(x)>0,△r>0,则△y<d山 A函数的极值不可能在不可导的点处取得 D:曲线y=x没有拐点 B:二阶导数大于零的驻点一定是函数的极小值点三、选择题（将正确答案的序号填写在指母内） C:二阶导数为零的驻点可能是极值点也可能不是极值点 D:二阶导数小于零的驻点一定函数的极大值点 1 第2页共于页

南阳师范学院—数学与统计学院第 2 页共 3 页 D： , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = ， x∈[ 1,1] − E： 1 3 f ( ) x x = ， x∈ −[ 1,1] （4）如果函数在定义区间上连续，除去有限个点外导数处处存在，则函数单调区间的分界点（） A：一定是驻点 B：一定是导数不存在的点 C：可能是驻点也可能是一阶导数不存在的点 D：一定是极值点（5）若点 0 0 ( , ( )) x f x 是曲线 y f = ( ) x 的拐点，则（） A：必有 0 f x ′′() 0 = B： 0 f ′′( ) x 一定不存在 C：可能是 0 f ′′( ) x 也可能是 0 f ′′( ) x 不存在 D：以上答案都不正确（6）下列结论正确的是（） A：若函数 f ( ) x 在点 0 x 的左邻域内 f x ′() 0 > ，在点 0 x 的右邻域内 f x ′() 0 < ，则 0 x 是 f ( ) x 的极小值点 B：若函数 f ( ) x 在点 0 x 的左邻域内 f x ′() 0 < ，在点 0 x 的右邻域内 f x ′() 0 > ，则 0 x 是 f ( ) x 的极大值点 C：如果 y = f x( ) 在区间 I 内单调，则在区间 I 内没有极值点 D：如果函数 f ( ) x 在点 0 x 处左、右近旁的导数同号，则点 0 x 是函数 y = f x( ) 的极值点（7）下列结论错误的是（） A：函数的极值不可能在不可导的点处取得 B：二阶导数大于零的驻点一定是函数的极小值点 C：二阶导数为零的驻点可能是极值点也可能不是极值点 D：二阶导数小于零的驻点一定函数的极大值点（8）下列不是曲线 2 1 x y x = − 渐近线的是（） A： y = 0 B： x =1 C： x = −1 D： y kx b k =+ ≠ ( 0) （9）下列结论错误的是（） A：闭区间上连续函数的最值可能在区间端点、驻点及不可导点处取得 B：闭区间上连续函数的最值可能在区间端点、及极值点处取得 C：若闭区间上连续函数的最值在区间内取得，则最值一定是函数在区间内所有极小值中的最小者 D：闭区间上连续函数的最大值一定是函数所有极值和函数在区间端点的函数值中最大者（10）不能直接使用洛必达法则求极限的是（） A： 0 sin lim x x → x B： 1 2 lim 1 2 n n n→∞ + − C： 0 1 lim x x e → x − D： 0 ln(1 ) lim x x → x + E： sin lim n n →∞ n F： 0 1 lim( ) x 1 ln x → x x − − （11）下列结论正确的是（） A： x = 0 是函数 f ( ) x x = 的极大值点 B：若函数 f ( ) x 在点 0 x 处二阶可导，且 0 f x ′′() 0 > ，则 0 x 是 f ( ) x 的极小值点 C：设函数 f ( ) x 具有二阶导数，且 f x ′′() 0 > ，Δ >x 0 ，则Δ <y dy D：曲线 100 y = x 没有拐点三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. 3 0 sin lim x x x → x − =

南阳师范学院——数学与统计学院第 1 页共 3 页《高等数学》第三章---中值定理与导数的应用练习题（B）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） 1. 可导函数的驻点一定是极值点. （） 2. 若罗尔定理的三个条件有一个不成立，则定理的结论一定不成立. （） 3. 若方程 f x ′() 0 = 在(,) a b 内至少有一个实根，则函数 f ( ) x 在[,] a b 上连续，在 (,) a b 内可导，且 f () () a fb = . （） 4. sin( ) sin cos( ) x +Δ − = + Δ Δ x x x xx θ 其中0 1 < θ < . （） 5. 在连续曲线上，若除去端点外的每一点都有不垂直于轴的切线，则其中必至少有一条切线平行于两端点的连线. （） 6. 若函数 f ( ) x 在(,) a b 内可导，则至少有一点ξ ∈(,) a b 使得 f ( ) x 在ξ 处的瞬时变化率等于 f ( ) x 在[,] a b 上平均变化率. （） 7. [ ] f x gx () () 0 ′ − = ( ) ∀ ∈x I ⇔ f () () x gx C = + （常数）( ) ∀ ∈x I （） 8. 至少存在一点ξ ∈ >− ( , ), ( 1) ab a ，使得 1 (sin sin ) (ln(1 ) ln(1 )) cos 1 ba b a ξ ξ − = +− + + （） 9. 极限 sin lim x x x →∞ x + 不能使用洛必达法则求出. （） 10. 1 cos 2 4 cos 1 (0 1) 2! 4! x xx x θ =− + < < θ . （） 11. 两坐标轴 x = 0 ， y = 0 都是函数 x x f x sin ( ) = 的渐近线. （） 12. 如果 y = f x( ) 在区间 I 内单调，则在区间 I 内没有极值点. （） 13. [-1,1]是 2 2 1 x y x = + 的递增区间. （） 14. 曲线 2x y e− = 在( , 0) −∞ 是凹的. （） 15. (1,0) 是曲线 4 fx x ( ) ( 1) = − 的拐点. （） 16. 函数的极值一定在区间内部取到. （） 17. 函数的极大值一定大于极小值. （） 18. 若点 0 0 ( , ( )) x f x 是曲线 y fx = ( ) 的拐点，则必有 0 f x ′′()0 = . （）二、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） 1. 在给定区间上，下列函数中满足罗尔中值定理条件的是（） A： 1 sin 0 ( ) , [ 1,1] 0 0 x fx x x x ⎧⎪ ≠ = ∈− ⎨⎪⎩ = B： f x x xx ( ) sgn sin , [ 1,1] = ∈ − C： 3 ( ) (sin cos ), [ , ] x fx e x x x = + ∈−π π D： 2 2 1 sin 0 2 2 () , , 0 0 x x fx x x x π π ⎧⎪ ≠ ⎡ ⎤ = ∈− ⎨ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ = 2. 设函数 2 f ( ) ( 1) sin x x xx = − ，则方程 f x ′() 0 = 在( ,) −π π 内根的个数是（） A：至多 1 个 B：2 个 C：3 个 D：至少 4 个

南阳师范学院——数学与统计学院第 2 页共 3 页 3. 下列函数中满足拉格朗日中值定理条件的是（） A： 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = x∈[ 1,1] − B： sin arctan , 0 ( ) 0, 0 1, 0 x x x fx x e x ⎧ > ⎪ = = ⎨⎪⎩ − < x∈[ 1,1] − C： f ( ) sgn x x = ， x∈ −[ 1,1] D： 1 3 fx x ( ) ( 1) = − ， x∈ −[ 2, 2] 4. 曲线 2 y = − ( 1) x x 的拐点个数为（） A：0 B：1 C：2 D：3 5. 若 0 x = x 是函数 y f = ( ) x 在区间 I 上单调区间的分界点，则（） A：点 0 0 ( , ( )) x f x 是曲线 y fx = ( ) 的拐点 B： 0 x 是 y fx = ( ) 的极值点 C： 0 f x ′()0 = D： 0 f x ′′()0 = 6. 设函数 f ( ) x 在[0,1] 上 f x ′′() 0 > ，则 f f ′(0) (1) 、、 ′ f (1) (0) − f 或f (0) (1) − f 的大小顺序是（） A： f ′ ′ (1) (0) (1) (0) > >− f ff B： f ff f ′(1) (1) (0) (0) >− > ′ C： ff f f (1) (0) (1) (0) −> > ′ ′ D： f fff ′(1) (0) (1) (0) > −> ′ 7. 下列没有最值的函数是（） A： 3 2 y = − 2 3 x x ( −≤ ≤ 1 4 x ) B： 2 y = 100 − x （0 8 ≤ x ≤ ） C： 2 3 y = x （ −≤ ≤ 1 1 x ） D： 3 y = x （ −1 1 < <x ） 8. 若 2 0 ln(1 ) ( ) lim 0 x x xf x → x + + = ，则 0 1 () limx f x → x + 为（） A：0 B： 1 2 C：1 D：∞ 9. 已知函数 ln(1 ), 0 ( ) , 0 x x f x x x ⎧ + > = ⎨⎩ ≤ ，则下列说法正确的是（） A： x = 0 为极小值点 B： x = 0 为极大值点 C： f ( ) x 在定义域内无极值 D： f ( ) x 在定义域内单调递减 10. 下列结论正确的是（） A： x = 0 是函数 f ( ) x x = 的极大值点 B：若函数 f ( ) x 在点 0 x 处二阶可导，且 f x ′′() 0 < ，则 0 x 是 f ( ) x 的极大值点 C：设函数 f ( ) x 具有二阶导数，且 f x ′′() 0 > ，Δ <x 0，则Δ <y dy D：曲线 1000 y = x 没有拐点三、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 函数 4 f ( ) x x = 在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理时所得到的的点 ξ=_ _ 2. 设 fx x x x x ( ) ( 1)( 2)( 3)( 4) =− − − − ，方程 f x ′() 0 = 至少有____个根，它们分别在区间上 3. 3 0 tan lim x x x → x − = 4. lim x x x x e e →+∞ − = − 5. 函数 2 2 y = − x x ln 的单调区间为

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