南阳师范学院一数学与统计学院 (11)(e严y,=a0e" () 《高等数学》第二章—导数与微分练习题 (12)y=f(x)在x。可微的充要条件是y=fx)在可导 () 练习题(A) 二、填空题（将正痛答案填写在横战上） 一、判断正误题（刺断下列各愿是香正确，正确的划1，帽黄的划×） 1.若fx)=,则(x)=,f'()= (1)若函数f八x)在点x处可导，则 -2g（) 2等轴双曲线y=在点山，)处的切战的斜率为一切线方程为一 Ar h (2)若函数f)在点处可导，则∫'()儿=f"() () 4若=，则装 fx,xso (3)设fx)= ,则函数f(x)在点x=0处左导数存在，右导数不存在() "ly=e-1 则心 6.若fx)=a,r+an--+an--2+…+ar+a则o(x)= [Lx>0. (4)若f(x)=sgnx=0,x=0,则f(x)在x=0处可导 () 7.若fx)=xx+1x+2)…(x+99),则f(0)= -lx<0. 8.[2sinx+4cos= 《5)fx)=-x在（←A,+∞）内只有一个不可导的点 () @-- 9.若y=入-x,x=2,Ar=0.002,L2am= () 10.(arctanx+arccotx)'= (7)若y=e产+e,则y-y=2y () 三、选择题（将正确答案的序号填可在括号内） () (1)一物体的运动方程是5=+10，则《) (9)若函数y=f(x)在点无处可导，则当Ax→0时，△y-f'气x)△x是此△r高阶 A:在1=1时的解时速度v=3 的无穷小量 () B:在1=1到1=2时的平均速度T=3 (I0)函数y=fx)在点处可微且f(x)≠0，则f+x)=f八)+f()() C:在t=I时的加速度a= D:在t=1时的加速度a=2 第1页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 1 页 共 3 页 《高等数学》第二章-——导数与微分练习题 练习题（A） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） （1）若函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导，则 0 0 0 0 00 0 0 0 0 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim xx x h f x fx fx x fx fx h fx f x → Δ→ → xx x h − +Δ − + − ′ == = − Δ （ ） （2）若函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导，则 0 0 ( )| ( ) x x f x fx = ′ = ′ （ ） （3）设 2 1 3 , 0 ( ) , 0 x x f x x x ⎧ ≤ ⎪ = ⎨⎪⎩ > ，则函数 f ( ) x 在点 x = 0 处左导数存在，右导数不存在 （ ） （4）若 1, 0, ( ) sgn 0, 0, 1, 0. x fx x x x ⎧ > ⎪ === ⎨⎪⎩− < 则 f ( ) x 在 x = 0 处可导 （ ） （5） f () 1 xxx = − 在(, ) −∞ +∞ 内只有一个不可导的点 （ ） （6） 1 [ ln( )] x x − =− ′ （ ） （7）若 2x x y e e− = + ，则 yy y ′′ ′ − = 2 （ ） （8）曲线 sin 2 , cos , t t x e t y e t ⎧ = ⎨⎩ = 在 4 t π= 时相应点处的法线的斜率为 1 （ ） （9）若函数 y = f x( ) 在点 0 x 处可导，则当 Δx → 0时， 0 Δy − Δ fx x ′( ) 是比 Δx 高阶 的无穷小量. （ ） （10）函数 y fx = ( ) 在点 0 x 处可微且 0 f x ′() 0 ≠ ，则 0 00 f ( ) () () x x fx f x x +Δ ≈ + Δ ′ （ ） （11） (100) 100 ( ) ax ax e ae = （ ） （12）） y = f x( ) 在 0 x 可微的充要条件是 y = f x( ) 在 0 x 可导 （ ） 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 若 f ( ) x x = ，则 0 f x( ) −′ = ， 0 f x( ) +′ = . 2. 等轴双曲线 1 y x = 在点(1,1) 处的切线的斜率为 ，切线方程为 . 3. sin sin lim x a x a → x a − = − 4. 若 sin ( ) x f x e = ，则 x 0 df dx = = 5. 若 1, 1, t t x e y e − ⎧ = + ⎨⎩ = − 则 dydx = 6. 若 1 2 1 2 10 ( ) nn n nn n f x ax a x a x ax a − − = + + ++ + − − " 则 ( ) ( ) n f x = 7. 若 f x xx x x ( ) ( 1)( 2) ( 99) = + + ⋅⋅⋅ + ，则 f ′(0) = 8. [ ](10) 0 2sin 4cos x x x + = = 9. 若 3 0 y x xx x = − = Δ= , 2, 0.002 ， 0 2, 0.002 |x x dy = Δ= = 10. (arctan cot ) x + arc x ′ = 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） （1）一物体的运动方程是 3 s t = +10 ，则（ ） A：在t =1时的瞬时速度v = 3 B：在t =1到t = 2时的平均速度v = 3 C：在t =1时的加速度 a =1 D：在t =1时的加速度 a = 2
南阳师范学院一数学与统计学院 (2)下列结论错误的是() C:f但在点x处一定可导 A:当△r→0时，若△y与△r是等价无穷小量，则f"(x)存在且f()=1 g(x) B:当△x→0时，△y与△x是同阶无穷小量，则了（无）存在但(x)≠0 D:sinf(x)在点x处一定可导 C:当△x→0时△y是比△x较高阶的无穷小量，则f(,)存在且f'()=0 (7)函数f(x)=G,下列结论正确的是( D:当△r→0时△y是比△r较阶的无穷小量，则f"(x)存在 A:在(-，+0)内处处连续且可导 B:在(-力，+四)内处处连续但在x=0处不可导 (3)下列结论错误的是() A:若函数f(x)在点x=x处连续，则函数f(x)在点x=x处可导 C:在(-，+四)内处处不可导 B:若函数f(x)在点x=x,处不连续，则函数f(x)在点x=处不可导 D:在(-D,+)内处处不可微 C:若函数fx)在点x=x处可导，则函数f(x)在点x=处连续 (8)设u=(x,v=(x)可微，则下列结论正确的是(） D:若函数f(x)在点x=处不可导，则函数f(x)在点x=x处也可能连续 A:d(uv)=vdu+udy B:d(uv)=dudy (4)若函数f八x)在点无，处可导，则() A:函数f(x也在点x处一一定可导B:函数√f八x)在点x处一定可导 6的= D:d(u+1)=du+1 C:函数2f产(x)+1在点x处一定可导D:函数 而在点6处一定可导 四、计算题 (5)下列结论错误的是() 1.已知y=e(sinx-cosx,求y A:函数∫(x)在点无处可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等 2.设y=, (x-1(x-2) (x+1(x+2) ,求y B:函数f(x)在点x。处不可导的充要条件是左、右导数都不存在 C:若左、右导数至少有一个不存在，则函数f(x)在点无处不可导 3.求曲线sin()+n(y-x)=x在点(0，)处的切线与法线方程. D:若左、右导数都存在但不相等，则函数f(x)在点，处不可导 4.参数方程 x=c0s1+1 确定函数y=f(x),求y (6)函数fx)在点处可导，函数g(x)在点x处不可导，则( (y=sint-1 5.设y=f(xsinx).其中fx)可导，求 A:f(x)士g(x)在点处一定可导 6.利用一阶微分的形式不变性求y=an1+x)在x=1处的微分山 B:fx)g(x)在点x处一定可母 第2页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 2 页 共 3 页 （2）下列结论错误的是（ ） A：当 Δ →x 0时，若 Δy 与 Δx 是等价无穷小量，则 0 f ′( ) x 存在且 0 f x ′()1 = B：当 Δ →x 0时， Δy 与 Δx 是同阶无穷小量，则 0 f ′( ) x 存在但 0 f x ′() 0 ≠ C：当 Δ →x 0时 Δy 是比 Δx 较高阶的无穷小量，则 0 f ′( ) x 存在且 0 f x ′()0 = D：当 Δ →x 0时 Δy 是比 Δx 较低阶的无穷小量，则 0 f ′( ) x 存在 （3）下列结论错误的是（ ） A：若函数 f ( ) x 在点 0 x = x 处连续，则函数 f ( ) x 在点 0 x = x 处可导 B：若函数 f ( ) x 在点 0 x = x 处不连续，则函数 f ( ) x 在点 0 x = x 处不可导 C：若函数 f ( ) x 在点 0 x = x 处可导，则函数 f ( ) x 在点 0 x = x 处连续 D：若函数 f ( ) x 在点 0 x = x 处不可导，则函数 f ( ) x 在点 0 x = x 处也可能连续 （4）若函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导，则（ ） A：函数 f ( ) x 也在点 0 x 处一一定可导 B：函数 f ( ) x 在点 0 x 处一定可导 C：函数 2 2 () 1 f x + 在点 0 x 处一定可导 D：函数 1f ( ) x 在点 0 x 处一定可导 （5）下列结论错误的是（ ） A：函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等 B：函数 f ( ) x 在点 0 x 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在 C：若左、右导数至少有一个不存在，则函数 f ( ) x 在点 0 x 处不可导 D：若左、右导数都存在但不相等，则函数 f ( ) x 在点 0 x 处不可导 （6）函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导，函数 g x( ) 在点 0 x 处不可导，则（ ） A： f () () x gx ± 在点 0 x 处一定可导 B： f () () x gx ⋅ 在点 0 x 处一定可导 C： ( ) ( ) f x g x 在点 0 x 处一定可导 D： sin ( ) f x 在点 0 x 处一定可导 （7）函数 3 f ( ) x x = ，下列结论正确的是（ ） A：在(, ) −∞ +∞ 内处处连续且可导 B：在(, ) −∞ +∞ 内处处连续但在 x = 0 处不可导 C：在(, ) −∞ +∞ 内处处不可导 D：在(, ) −∞ +∞ 内处处不可微 （8）设u ux v vx = ( ), ( ) = 可微，则下列结论正确的是（ ） A： d uv vdu udv ( ) = + B： d uv du dv ( ) = ⋅ C： ( ) u du d v dv = D： d u du ( 1) 1 += + 四、计算题 1. 已知 (sin cos ), x y = − ex x 求 x 0 y = ′ 2. 设 ( 1)( 2) ( 1)( 2) x x y x x − − = + + ，求 y′ . 3. 求曲线sin ln ( xy yx x ) + ( − =) 在点(0,1) 处的切线与法线方程. 4. 参数方程 cos 1 sin 1 x t y t ⎧ = + ⎨⎩ = − 确定函数 y fx = ( ) ，求 y′′ . 5. 设 y fx x = ( sin ) ,其中 f ( ) x 可导，求 y′ . 6. 利用一阶微分的形式不变性求 2 2 y = + tan (1 ) x 在 x =1处的微分 dy
南阳师范学院一数学与统计学院 7.利用一阶微分的形式不变性求e2y-c0s)=e-1的微分山，并求出变 五、证明题 上设清数=r芒兰革瑰本字力办 2.证明：函数f(四={e-山x50 [ax+b,x>0 在x=0处可导的充要条件是a=Lb=0. 3.证明：f(x)={ 上s之0在定义内处处可位 0x=0 第3页共3页
南阳师范学院—数学与统计学院 第 3 页 共 3 页 7. 利用一阶微分的形式不变性求 cos( ) 1 2 − = − + e xy e x y 的微分 dy ，并求出 dydx . 五、证明题 1. 设函数 1 ( ) arctan 1 x f x x + = − ，证明 21 1 dy dx x = + 2 . 证明：函数 ( ) , 0 1, 0 xax b x f x e x ⎧ + > = ⎨⎩ − ≤ 在 x = 0 处可导的充要条件是 a b = = 1, 0 . 3. 证明： 3 1 sin , 0 ( ) 0 0 x x f x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = 在定义域内处处可微
南阳师范学院—一数学与统计学院 《高等数学》第二章-一导数与徽分 练习题(B) 导的、且有f)= () c(y) 一、判断正误题（州断下列各愿是香正确，正确的划1，帽漫的划X) (13)(sin2x)0=20sin2x () ①若福数国在点6处可琴，则/G)马因--A山 () (14)y=f(x)在x。不可微的充要条件是y=f(x)在无不可导 () ②)若商数)在点气处可绿，则)=四+-山 () (15)连续的曲线上每一点处都有切线 () h 、《3)着函最/)在点玉处可导，则必有Cx儿、= () 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 4设f)= x<0 In(l+x),x20' 则函数(x)在点x=0处左导数存在，右导数不存在 1若fx)= x0,则f0)= et x>0 ,f'(0)= （) 2.若y=3x0+5x2-6x3+4,则o= (5)若f八x)=卜-，则f(x)在x=1处可号 () (6)f(x)=F在(-0，+D)内均可母 () 4若f)5csm子则 (7)若函数fm)可导，则[fnx)=f'(nx) () 在 5.若y=(l+x2)arctanx,则y= (8)若y=x2e2,则y-2y+y=0 (9)曲线+y2=2x在(，）处的法线的斜率为召 6若方程y-sin(πy)=0确定y是x的函数，则 () dx 5 7.设fx)=x(x+1)x+2)小…(x+m)(n22),则f(0)=_ m致=在点丝，且0：则回查-0 () &[e“+cos5r]lw= )当银小时，则一3安1+ () 9.若y=lnl+e)b=L,△r=0.002,dl。as-am= (12)若函数x=(y)在区间L,内单调可导，则它的反函数y=(x)在对应区间1.内总是可 10.d =sec2 4xdr. 第1页共3页
南阳师范学院——数学与统计学院 第 1 页共 3 页 《高等数学》第二章---导数与微分 练习题（B） 一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×） （1）若函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导，则 0 0 0 () ( ) ( ) limx f x fx x f x Δ → x − − Δ ′ = Δ （ ） （2）若函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导，则 0 0 0 0 ( )( ) ( ) limh f x h fx h f x → h + − − ′ = （ ） （3）若函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导，则必有 0 0 d( ) ( )| d x x f x f x x = ′ = （ ） （4）设 , 0 ( ) ln(1 ), 0 x x f x x x ⎧ < = ⎨⎩ + ≥ ，则函数 f ( ) x 在点 x = 0 处左导数存在，右导数不存在 （ ） （5）若 f () 1 x x = − ， 则 f ( ) x 在 x =1处可导 （ ） （6） 3 f ( ) x x = 在(, ) −∞ +∞ 内均可导 （ ） （7）若函数 f ( ) u 可导，则 [ ] f (ln ) (ln ) x fx ′ = ′ （ ） （8）若 2 x y = x e ，则 y yy ′′ ′ − += 2 0 （ ） （9）曲线 3 2 y + = y x2 在(1,1) 处的法线的斜率为 25 （ ） （10）若函数 y fx = ( ) 在点 0 x 处可导，且 0 f x ′() 0 ≠ ，则 0 lim 0 x y dy Δ → y Δ − = Δ （ ） （11）当 x 很小时，则 5 3 13 1 5 − ≈+ x x （ ） （12）若函数 x = ϕ( ) y 在区间 y I 内单调可导，则它的反函数 y fx = ( ) 在对应区间 x I 内总是可 导的，且有 1 ( ) ( ) f x ϕ y ′ = ′ （ ） （13） (50) 50 (sin 2 ) 2 sin 2 x = x （ ） （14） y = f x( ) 在 0 x 不可微的充要条件是 y = f x( ) 在 0 x 不可导 （ ） （15）连续的曲线上每一点处都有切线 （ ） 二、填空题（将正确答案填写在横线上） 1. 若 3 4 0 ( ) 0 x x x f x e x ⎧ ≤ = ⎨⎩ > ，则 f (0) −′ = ， f (0) +′ = . 2. 若 10 7 3 yx x x = 3 564 +−+ ，则 (10) y = ， (100) y = 3. cos cos lim x a x a → x a − = − 4. 若 ( ) 5arcsin 2x f x = ，则 df dx = 5. 若 2 y = + (1 ) arctan x x ，则 y′′ = 6. 若方程 2 xy y − sin( ) 0 π = 确定 y 是 x 的函数，则 dydx = 7. 设 f x xx x x n n ( ) ( 1)( 2) ( ) ( 2) = + + ⋅⋅⋅ + ≥ ，则 f ′(0) = 8. (20) 3 0 cos 5 x x e x = ⎡ ⎤ + = ⎣ ⎦ 9. 若 2 0 ln(1 ), 1, 0.002 x y ex x = + = Δ= ， 0 1, 0.002 |x x dy = Δ= = 10. d = 2 sec 4xdx
南阳师范学院一数学与统计学院 北mm-。 (4)若曲线y=x2+ar+b和y=x+x在点(L,2)处相切（其中a,b是常数） 则a,b之值为( ( A:a=2,b=-1B:a=lb=-3 C:a=0,b=-2 D:a=-3,b=l 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） (5)下列结论正确的是( ①若四但=1.则在x=0处() A:若左、右导数都存在，则函数f(x)在点无处可导 B:函数(x)在点处不可导的充委条件是左、右导数都不存在 A可导，且f(0)=0B:可导，且f(0)≠0 C:若函数f(x)在点x。处不可导，则函数f(x)在点x。处左、右导数只有一个不存在 C:不可导 D:以上答案都不正确 D:函数f(x)在点x。处可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等 (f (2)若f)可导，f0)=0,f0=0,则Fx)={x x0) (6)若函数x)、g(x)在点x处都不可导，则() 0x=0 A:(x)±g(x)在点x处一定不可号 A:在x=0处连续但不可导 B:在x=0处可号 B:fx小gx)在点处一定不可号 C:在x=0处不连续 D:在x=0处不可导 c:四在点无处一定不可 (3)下列结论错误的是《) g(x) A:函数f(x)在点x。可导是函数f工)在点无连续的充分但非必要条件 D:f土g、f)g、但在点无处可能可导，色可能不可导 g() B:函数f(x)在点x连续是函数f(x)在点x。可导的充分但辈必要条件 (7)设y=fu,=g(x)均为可微函数，则复合函数y=f(g(x》的微分d=() C:函数f(x)在点x可微是函数f(x)在点x。连续的充分但非必要条件 A:f(x)dx B:f(u)du D:函数f(x)在点x。可微是函数f(x)在点无可导的充要条件 C:f(g'(x))d D:f(g(x))g'(x)dr 第2页共3页
南阳师范学院——数学与统计学院 第 2 页共 3 页 11. 2 4 tan 1 lim 4 x x x → π π − = − 12. 1 arctan 1 x x ′ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ − 三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内） （1）若 3 0 ( ) lim 1 x f x → x = ，则 f ( ) x 在 x = 0 处（ ） A：可导，且 f ′(0) 0 = B：可导，且 f ′(0) 0 ≠ C：不可导 D：以上答案都不正确 （2）若 f ( ) x 可导， f f ′(0) 0, (0) 0 = = ，则 2 ( ) 0 ( ) 0 0 f x x F x x x ⎧⎪ ≠ = ⎨⎪⎩ = （ ） A：在 x = 0 处连续但不可导 B：在 x = 0 处可导 C：在 x = 0 处不连续 D：在 x = 0 处不可导 （3）下列结论错误的是（ ） A：函数 f ( ) x 在点 0 x 可导是函数 f ( ) x 在点 0 x 连续的充分但非必要条件 B：函数 f ( ) x 在点 0 x 连续是函数 f ( ) x 在点 0 x 可导的充分但非必要条件 C：函数 f ( ) x 在点 0 x 可微是函数 f ( ) x 在点 0 x 连续的充分但非必要条件 D：函数 f ( ) x 在点 0 x 可微是函数 f ( ) x 在点 0 x 可导的充要条件 （4）若曲线 2 y = x ax b + + 和 3 y = x x + 在点(1, 2) 处相切（其中 a b, 是常数）， 则 a b, 之值为（ ） A： a b = 2, 1 = − B： a b =1, 3 = − C： a b = 0, 2 = − D： a b = − = 3, 1 （5）下列结论正确的是（ ） A：若左、右导数都存在，则函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导 B：函数 f ( ) x 在点 0 x 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在 C：若函数 f ( ) x 在点 0 x 处不可导，则函数 f ( ) x 在点 0 x 处左、右导数只有一个不存在 D：函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等 （6）若函数 f ( ) x 、 g x( ) 在点 0 x 处都不可导，则（ ） A： f () () x gx ± 在点 0 x 处一定不可导 B： f () () x gx ⋅ 在点 0 x 处一定不可导 C： ( ) ( ) f x g x 在点 0 x 处一定不可导 D： f () () x gx ± 、 f () () x gx ⋅ 、 ( ) ( ) f x g x 在点 0 x 处可能可导，也可能不可导 （7）设 y = fu u gx ( ), ( ) = 均为可微函数，则复合函数 y = f gx ( ( ))的微分 dy = （ ） A： f ′( ) x dx B： f ′( ) u du C： f ( ( )) g x dx ′ D： f ( ( )) ( ) g x g x dx ′