例如，函数 f(x.y)=x2+y2 x2+y2≠0 0，x2+y2=0 在点(0,0)极限不存在，故(0,0)为其间断点 又如，函数 xy)2+27 在圆周x2+y2=1上间断 结论：一切多元初等函数在定义区域内连续
例如, 函数 ,0 0 , 0 ),( 22 22 22 yx yx yx x y yxf 在点(0 , 0) 极限不存在, 又如, 函数 1 1 ),( 22 yx yxf 1上间断. 22 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续
闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质： 定理：若f(P)在有界闭域D上连续，则 (I)3K>0,使f(P)≤K,P∈D;(有界性定理) (2)f(P)在D上可取得最大值M及最小值m; (最值定理) (3)对任意u∈[m,M],3Q∈D,使f(Q)=H (介值定理)
定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 K ,0)1( f P)()2( m M ,],[ 使 DPKPf ;,)( 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 Q D，使 Qf ;)( (有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:
例5.求lim xy+1-1 x>0 xy y→0 分析：分子有理化. 解：原式-1im（y+)2-l 0xx+1+1) y>0 38y+1+12 y→0
. 11 lim 0 0 yx yx y x 解: 原式 )11( 1)1( lim 2 00 yxxy yx yx 21 例5.求 11 1 lim 0 0 yx y x 分析：分子有理化
第二节偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、小结思考题
三、小结 思考题 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 第二节 偏导数
一、偏导数 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,0)的某一邻域内 有定义，当y固定在yo而x在x处有增量△x时，相 应地函数有增量 函数对x的 f(x0+△x,y0)-f(x00丙 偏增量 如果1imfx+△r,n)-fn存在，则称此极限 △r->0 Ar 为函数z=f(x,y)在点(x0y0)处对x的偏导数，记为 f y=0 y-Yo
定义 设函数z f x y),( 在点 ),( 00 x y 的某一邻域内 有定义，当 y固定在 0y 而x在x0处有增量x时，相 应地函数有增量 ),(),( 0000 f x x y f x y ， 如果 x f x x y f x y x ),(),( lim 0000 0 存在，则称此极限 为函数z f x y),( 在点 ),( 00 x y 处对x的偏导数，记为 一、偏导数 0 0 yy x xx z ， 0 0 yy x xx f ， 0 0 yy xx x z 或 ),( 00 f x y x . 函数对x的 偏增量