1发x=+y1sm+0 求证：limf(x,y)=0. x-→0 y-→0 0s- 要证 <8 .ε>0,6=√e,当0<p=Vx2+y2<6时，总有 f(x,y)-0≤x2+y2<d2=ε 故 limf(x,y)=0 x→0 y-→0
例1. 设 )0( 1 sin)(),( 22 22 22 yx yx yxyxf 求证: .0),(lim 0 0 f yx y x 证: 0 1 sin)( 22 22 yx yx 故 0),(lim 0 0 f yx y x ε ,0 yxf 0),( 0 , 当 yx 22 δ时 22 yx 2 δ 22 yx εδ , 总有 ε ε 要证
例2.设f(x,y)= xsin+ysin, xy≠0 0 xy=0 求证：limf(x,y)=0. x→0 y→0 证fx,y)-0≤xsin+ysin 要证 ≤x+|y≤2Vx2+y2 <8 .c>0,6=e2,当0<p=Vx2+y2<6时，总有 |f(x,y)-0|≤2Vx2+y2<26=e 故 lim f(x,y)=0 x-→0 y-→0
例2. 设 0, 0 0,sinsin ),( 1 1 yxyxyx yxf y x 求证： .0),(lim 0 0 f yx y x 证 ： yxf 0),( 故 0),(lim 0 0 f yx y x ε ,0 20),( 22 yxf yx yx 22 2 yx εδ ,2 当0 ρ yx 22 δ 时， y x yx 1 1 sinsin 总有 2δ ε ε 要证
·若当点P(x,y)以不同方式趋于P(xo,yo)时，函数 趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限 不存在 3.到论函数化)2在点0,0的级 解：设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0，O),则有 limf(x)=lim- hx2 h x→0 x0x2+k2x21+k2 y=kx k值不同极限不同！ 故f(x,y)在(0,0)点极限不存在
若当点P x y),( 趋于不同值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 22 ),( yx yx yxf 222 2 0 0 lim),(lim xkx xk yxf x kxy x 在点 (0, 0) 的极限. 故 f yx ),( 则可以断定函数极限 则有 2 1 k k k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于 ,),( yxP 000 时 不存在 . 例3. 讨论函数 函数
例4.求lim 1-cos(x2+y2) （2+y2r22 解：因x2y2≤4(x2+y2)2,令2=x2+y2,则 ge0 而 -a lim 2r4 >0 故 1-c0 lim 8x2+2x22 1-c0s2、 2
例4. 求 2222 22 0 0 )( cos(1 ) lim yxyx yx y x 解: 因 ,)( 222 4 22 1 yxyx 2222 22 )( cos(1 ) yxyx yx 而 6 2 0 )cos1(4 lim r r r , 222 令 yxr 则 6 2 )cos1(4 r r 6 4 0 2 lim r r r 2 cos1 r 2 ~ 4 r 故 2222 22 0 0 )( cos(1 ) lim yxyx yx y x
四、多元函数的连续性 定义3.设n元函数f(P)定义在D上，聚点P∈D, 如果存在 lim f(P)=f(P) P-→P0 则称n元函数f(P)在点P连续，否则称为不连续，此时 称为间断点 如果函数在D上各点处都连续，则称此函数在D上 连续」
四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 f P)( 定义在 D 上, 0 )()(lim0 f P f P PP 0 )( 在点PPf 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 , 聚点 0 DP 如果存在 否则称为不连续, P0 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续. 连续