(③)开区域及闭区域 。若点集E的点都是内点，则称E为开集； ·E的边界点的全体称为E的边界，记作OE, ·若，点集E一OE,则称E为闭集； ·若集D中任意两，点都可用一完全属于D的折线相连 则称D是连通的； ·连通的开集称为开区域，简称区域； ·开区域连同它的边界一起称为闭区域
D (3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
例如，在平面上 {(x)x+y>0} 开区域 {(x,y)1<x2+y2<4} {x,y)x+y≥0} 闭区域 {(x,y)1≤x2+y2≤4} 2x
例如，在平面上 yxyx 0),( 1),( 4 22 yxyx yxyx 0),( 1),( 4 22 yxyx 开区域 闭区域 x y O x y O 1 2 x y O x y O 1 2
整个平面是最大的开域， 也是最大的闭域， 点集{(x,y)川x>1}是开集， 但非区域 对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点 A的距离APkK,则称D为有界域，否则称为无 界域
整个平面 点集 xyx 1),( 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ; 但非区域 . 1 1 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无 x y O
二、多元函数的概念 定义1.设非空点集DCR”,映射f:D→R称为定义 在D上的n元函数，记作 u=f(x1,x2,…,xn)或u=f(P),P∈D 点集D称为函数的定义域；数集{uu=f(P),P∈D} 称为函数的值域。 特别地，当n=2时，有二元函数 z=f(x,y),(x,y)∈DcR2 当n=3时，有三元函数 u=f(x,y,z), (xy,z)∈DcR3
定义1. 设非空点集 , n D R 或 ,)( DPPfu 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 )( DP,Pfuu 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 2 ),(),,( Dyxyxfz R 当 n = 3 时, 有三元函数 3 ),,(),,,( Dzyxzyxfu R 映射 f : D R称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 ),,,( 21 n u f xxx 二、多元函数的概念
三、多元函数的极限 定义2.设n元函数f(P),P∈DcR”,Po是D的聚 点，若存在常数A,对任意正数ε，总存在正数6，对一 切P∈D∩U(P,),都有f(P)-A<c,则称A为函数 f(P)当PP时的极限，记作 lim f(P)=A(也称为n重极限) P→0 当n-2时，记p=PR=V(x-xo)2+(y-yo)2 二元函数的极限可写 作：limf(x,y)=A=limf(x,)=A p→0 x→x0 y→yo
三、多元函数的极限 定义2. 设 n 元函数 ( , n ), DPPf R 点 , ,),( 0PUDP δ APf ε,)( 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限 ) 当 n =2 时, 记 2 0 2 0 0 yyxxPP )()( 二元函数的极限可写 作： f Ayx ),(lim 0 f P A PP )(lim0 P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 )( 当 PPPf 0时的极限，记作 f Ayx yy xx ),(lim 0 0 都有 对任意正数 , 总存在正数 , 切