一、矩估计法 矩估计法是一种经典的估计方法，它是由英国统计学 家K.Pearson在上世纪初提出.其基本思路是：用样本 矩及其函数估计相应的总体矩及其函数. 具体做法如下： 设X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x8,8,.,9),或X为离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}=p(x;日，O2,.,0),其中0,02，.，0为待估参 数，Y,X2,.,Xn是来自总体X的样本. 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 一、矩估计法 矩估计法是一种经典的估计方法，它是由英国统计学 家 K．Pearson 在上世纪初提出．其基本思路是：用样本 矩及其函数估计相应的总体矩及其函数． 具体做法如下： 设 X 为 连 续 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 为 1 2 ( ; , , , ) k f x ，或 X 为离散型随机变量，其分布律为 P X x p x = = ( ; , , , 1 2 k )，其中 1 2 , , , k 为待估参 数， 1 2 , , , X X Xn 是来自总体 X 的样本．
假设总体X的前k阶矩 4=E(X')=xfx,0,0)d(X为连续型) 或4=E(X)=∑xp(x0,0,.,0)(X为离散型) x∈R (其中Rx是X可能取值的范围，1=1,2，.，k)存在，一 般来说，它们是0,0，.，0，的函数. 由于样本矩 4, 12x 依概率收敛于相应的总体矩4，（1=1,2，.，k),样本矩的 连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数。 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 假设总体 X 的前 k 阶矩 1 2 ( ) ( ; , , , )d l l l k E X x f x x − = = ( X 为连续型) 或 ( ) ; , , , ( 1 2 ) X l l l k x R E X x p x = = ( X 为离散型) (其 中 RX 是 X 可能取值的范围， l k =1,2, , )存在，一 般来说，它们是 1 2 , , , k 的函数． 由于样本矩 1 1 n l l i i A X n = = 依概率收敛于相应的总体矩 l (l k =1,2, , )，样本矩的 连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数
4(0,02,.,0)=A, 0=0(X1,X2,.,Xn) 4(8,8,.,0)=A, 02=0(X,X,.,Xn月 (0,02,.,0)=A 0=0(X,X2,.,Xn) 以 0=0,(X,X2,.,Xn),i=1,2,.k, 分别作为参数0，i=1,2,.k的估计量，这种估计量称 为矩估计量(moment estimator).矩估计量的观察值称 为矩估计值(moment estimates). 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) . k k k k k A A A = = = 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ). n n k k n X X X X X X X X X = = = 以 1 2 ˆ ( , , , ) i i n = X X X ，i k =1,2, , 分别作为参数i ，i k =1,2, 的估计量，这种估计量称 为矩估计量(moment estimator)．矩估计量的观察值称 为矩估计值(moment estimates)．
在作矩估计时，也可用中心矩建立关于未知参数的 方程组，有时还可以混合使用原点矩和中心矩以建立 关于未知参数的方程组.例如，可以建立如下方程组 41(0,02,.,0)=A, 41(8,02,.,9e)=B, 42(0,02,.,0)=B2, 或 4(0,02,.,0)=A, ·: 41(0,02,.,0)=B+1, 4(0,O2,.,0)=Bx 44(01,02,.,0)=B 等.其中，B=2(X,-),k=2,3.为样本k阶中心 矩.可见矩估计量是不唯一的. 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 在作矩估计时，也可用中心矩建立关于未知参数的 方程组，有时还可以混合使用原点矩和中心矩以建立 关于未知参数的方程组．例如， 可以建立如下方程组 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) . k k k k k B B B = = = 或 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) , ˆ ( , , , ) . k i k i i k i k k k A A B B + + = = = = 等．其中， ( ) 1 1 , 2,3, n k k i i B X X k n = = − = 为样本k 阶中心 矩． 可见矩估计量是不唯一的．
【例2】设总体X服从参数为几的泊松分布，求参数1 的矩估计量. 解由于入=EX=DX,易知 -或月=∑(X,-X)=B. 易见，同一个参数的矩估计量不唯一 2024年8月27日星期二 11 目录>Q上页 下页→返回
2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 【例 2】 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，求参数 的矩估计量． 解 由于 = = EX DX ，易知 ˆ = X 或 2 2 1 1 ˆ ( ) n i i X X B n = = − = ． 易见， 同一个参数的矩估计量不唯一．