《线性代数》课程教学资源（PPT讲稿，C）1-2行列式的性质

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第二节 n 阶行列式的性质

课前复习：由定义知 是否可以等于： 41i 012 13 D= 21 42 L23 =41A1+012A2+043Ag 31 32 033 =0141+022A2+023A3 =31A1+4242+033A3 0 012 n D- . 02 =01A1+02A2+.+41mA1n an dn2. nm=21A1+a2A2+.+02nAm -anAnl an24n2++am Amn 上页

11 11 12 12 13 13 = + + a A a A a A 课前复习:由定义知 11 12 1 21 22 2 11 11 12 12 1 1 1 2 n n n n n n nn a a a a a a D a A a A a A a a a = = + + + 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a D a a a a a a = 是否可以等于： 21 21 22 22 23 23 = + + a A a A a A 21 21 22 22 2 2 n n = + + + a A a A a A 31 31 32 32 33 33 = + + a A a A a A n n n n nn nn 1 1 2 2 = + + + a A a A a A

定理1.1.1n阶行列式可表示为如下形式 11 12 021 l22 ∑(-Ia马n .p PiP2Pn 回

定理1.1.1 n 阶行列式可表示为如下形式 ( 1 2 ) 1 2 1 2 1 2 ( 1) n n n t p p p p p np p p p = −  a a a n n nn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1 2 ) 1 2 1 2 1 2 ( 1) n n n t p p p p p p n p p p = −  a a a

例1：计算行列式D= 307 -5 -1 30 解：由定义得 D=41A1+a12A12+13A13 C2 =-3×(-2-5×0+3×7=27. D=a21A1+L2A22+23A23 =04+0x4 =27

. 7 7 2 0 1 0 3 5 3 − − − D = 解: 由定义 得 ( ) 7 2 1 0 3 1 1 1 − = − − + = −3(− 2)− 50+ 37 = 27. ( ) ( ) 7 2 0 0 5 1 1+2 + −  − ( ) 7 7 0 1 3 1 2 2 − +  − + 例1: 计算行列式 D = a11A11 + a12A12 + a13A13 D a A a A a A = + + 21 21 22 22 23 23 21 =  0 A ( ) ( ) 2 2 3 3 1 1 7 2 + − + −  − 23 + 0 A = 27

一、行列式按行（列）展开法则 定理1.2.1：行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即 》=a+e++aw-a,4 D=aA+ar4i+.+aa=au4划 证明略。 (i=1,2,.,n) D=1An+a12A12+.+a1mA1n(i=1) =42421+22422+.+2m42n(i=2) =anlAnl+an24n2++aonAnn i-n

定理1.2.1: 行列式等于它的任一行(列)的各元素 1 n ki ki k a A = =  ( i =1, 2, ···, n) D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin D = a1iA1i+ a2iA2i + ··· + aniAni 与其对应的代数余子式乘积之和, 即 一、行列式按行（列）展开法则 证明略。 1 n ik ik k a A = =  D = a11A11 + a12A12 + ··· + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + ··· + a2nA2n = ···= an1An1 + an2An2 + ··· + annAnn ( i =1) ( i =2) ( i =n)