第五章二次型85.3唯一性2.实二次型规范形的定义设f(x1,x2,…,xn)是一个实二次型，经过一适当的实数域上的非退化线性替换后，f(x1,x2,,xn)变成标准形：diyi + d2y2 + ... + dpyp - dp+1yp+1 -... - dryr,d, + 0,i =（3）r是f(x1,x2,,xn)的秩，再作实数域上一非1,2,...,r.退化线性替换：式（3）就变成12+z2+…+号-z+1-…- (4)式（4）就称为实二次型f(x1,x2,,xn)的规范形，规范形式（4）完全被rp这两个数所决定，p, r-p与p-(r-p)=2p-rZr+1r+1分别叫做实二次型f(x1,x2,…,xn)的正、负Yn=Zn惯性指数与符号差
第五章 二次型 §5.3 唯一性 𝒚𝟏 = 𝟏 𝒅𝟏 𝒛𝟏 ⋯ ⋯ 𝒚𝒓 = 𝟏 𝒅𝒓 𝒛𝒓 𝒚𝒓+𝟏 = 𝒛𝒓+𝟏 ⋯ ⋯ 𝒚𝒏 = 𝒛𝒏 2.实二次型规范形的定义 设𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)是一个实二次型，经过一适当的实数域上的 非退化线性替换后，𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)变成标准形： 𝒅𝟏𝒚𝟏 𝟐 + 𝒅𝟐𝒚𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒅𝒑𝒚𝒑 𝟐 − 𝒅𝒑+𝟏𝒚𝒑+𝟏 𝟐 − ⋯ − 𝒅𝒓𝒚𝒓 𝟐 , 𝒅𝒊 ≠ 𝟎,𝐢 = 𝟏, 𝟐, ⋯ , 𝐫. （3）r是𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的秩，再作实数域上一非 退化线性替换： 式（3）就变成 𝒛𝟏 𝟐 + 𝒛𝟐 𝟐 + ⋯ + 𝒛𝒑 𝟐 − 𝒛𝒑+𝟏 𝟐 − ⋯ − 𝒛𝒓 𝟐 （4） 式（4）就称为实二次型𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的 规范形，规范形式（4）完全被𝐫, 𝐩这两个 数所决定，𝐩, 𝐫 − 𝐩与𝐩 − 𝐫 − 𝒑 = 𝟐𝐩 − 𝐫 分别叫做实二次型𝐟(𝒙𝟏, 𝒙𝟐, ⋯ , 𝒙𝒏)的正、负 惯性指数与符号差
第五章二次型85.3唯一性二、实、复二次型的规范形的唯一性定理3任意一个复二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，并且规范形是唯一的。定理3（等价说法）任意一个复对称矩阵合同于一个形为1100的对角矩阵，两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等
第五章 二次型 §5.3 唯一性 二、实、复二次型的规范形的唯一性 定理3 任意一个复二次型，经过一适当的非退化线性替换 可以变成规范形，并且规范形是唯一的。 定理3（等价说法） 任意一个复对称矩阵合同于一个形为 1 ⋱ 1 0 ⋱ 0 的对角矩阵，两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等