南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第三章 微分中值定理与导数的应用 3.3 泰勒公式

冬泰勒中值定理 如果函数fx)在含有x的某个开区间(，b)内具有直 到(+1)的阶导数，则对任一x∈(a,b),有 f)=f+f0-)+2f",x-xP 卡+/-r+, 其中R(时=fa且(x-)1(传介于x与之间)， (n+1)川 展开式称为fx)按x-x)的幂展开的n阶泰勒公式， 而Rc)的表达式称为拉格朗日型余项

泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直 到(n1)的阶导数,则对任一x(a, b), 有 展开式称为f(x)按(xx0 )的幂展开的n阶泰勒公式, 而Rn (x)的表达式称为拉格朗日型余项. 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x ) (x x ) f  x x x    ( ) ( ) ( ) ! 1 0 0 ( ) f x x x R x n n  n  n  , 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( )      n n n x x n f R x  其中 ( (   介 介于 于 x x 0 0 与 与 x之间 x 之间 ).)

•误差估计 如果在区间(a,b)内，对于某个固定的n,f+)c)川总 不超过一个常数M,则有估计式： 风训=a2-0水 及 lim R)一=0. xxo (x-xo)n 可见，当x→x时，误差Rn心是比x-xo)"高阶的无穷小， 即Rnc)=o[k-xo)I]

如果在区间(a, b)内, 对于某个固定的n, |f (n1)(x)|总 不超过一个常数M,则有估计式: 可见, 当xx0时,误差|Rn (x)|是比(xx0 ) n高阶的无穷小, •误差估计 及 0 ( ) lim 0 ( ) 0    n n x x x x x R . 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x  , 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x  , 即Rn (x)o[(xx0 ) n ]

误差估计 如果在区间(a,b)内，对于某个固定的n,f总 不超过一个常数M,则有估计式： R=49-x Rn(x)o[(x-xo)乃.一佩亚诺型余项 在不需要精确表达余项时，n阶泰勒公式也可写成 f)=f+f0x-x)+7f"(0-尸 +()(x-xo)+o-)]

Rn (x)o[(xx0 ) n ]. 在不需要精确表达余项时, n阶泰勒公式也可写成 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2! 1 f (x) f (x ) f (x ) (x x ) f  x x x    ( ) ( ) [ ( ) ] ! 1 0 0 0 (n) n n f x x x o x x n     . •误差估计 佩亚诺型余项 如果在区间(a, b)内, 对于某个固定的n, |f (n1)(x)|总 不超过一个常数M,则有估计式: 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x  , 1 0 1 0 ( 1) | | ( 1)! ( ) | ( 1)! ( ) | ( )| |          n n n n x x n M x x n f R x 