第二章矩阵与向量 般地， 与口 293 m 必为且仅为一下三 种情 形之一： 10口可由口，口2，口m的线性表示，且表达式唯 2口对元线性方程组的线装示表裘截未知 量的系数构成的维列尚量，即 éa1yù 3如不能由山8 的线性表示 a; e4 =1,2,Ln e4ú
第二章 矩阵与向量 一般地， 与 1 , 2 ,., m 必为且仅为一下三 种情 形之一： 1 0 可由 1 , 2 ,., m 的线性表示，且表达式唯 一； 2 0 可由 1 , 2 ,., m 的线性表示，但表达式不 唯一； 3 0 不能由 1 , 2 ,., m 的线性表示. 对于n元线性方程组(2-8)若以 j表示其中第j个未知 量的系数构成的m维列向量，即
第二章矩阵与向量 且令 éb, ú b 8 e4ú e,ú m 那么，方程组(2-8)可以表示为 xa+xa,+74+xa=b 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为 向量口能否由向量口1，口23，口m线性表示当口 能由向量口1，口2，口线性表示且表达式唯一 时，方程组(2-8)有解且解唯一
第二章 矩阵与向量 且令 那么，方程组(2-8)可以表示为 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为 向量 能否由向量 1 , 2 ,., m线性表示.当 能由向量 1 , 2 ,., m线性表示且表达式唯一 时,方程组(2-8)有解且解唯一
第二章矩阵与向量 定义2.3.2设n维向量组 m 如果存在不全为0的m个数k1,k2,.,km,使得 k1□1+k2□2+.+km口m=0 则称向量组口1，·2，口m线性相关，否则称它们线性 无关 注： 口1，·2，口m线性无关，就是 k1日1+k2日2+.+km日m=k1=k2=.=km=0
第二章 矩阵与向量 定义2.3.2 设n维向量组 1 , 2 ,., m ， 如果存在不全为0 的m 个数k1，k2，. ，km，使得 k1 1 + k2 2 + .+ km m = 0 注： 1 , 2 ,., m 线性无关,就是 k1 1 + k2 2 + .+ km m = 0 k1 = k2 = . = km= 0 则称向量组 1 , 2 ,., m 线性相关,否则称它们线性 无关
第二章矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论： ()只有一个向量口的向量组线性相关的充要条件是口=O; (2)如果向量组口1，口2，口m中有某两个向量口=口切 那么向量组口1，口2，口m线性相关； (3)含有零向量的向量组必线性相关 在一个向量组口1，口2，口m中，任取若干个向量组成 向量组，叫做口1，口2，口m的部分向量组，简称部分组。 (4④)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的
第二章 矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论: (1)只有一个向量 的向量组线性相关的充要条件是 =0; (2)如果向量组 1 , 2 ,., m中有某两个向量 i = j (i≠j) ， 那么向量组 1 , 2 ,., m线性相关 ; (3)含有零向量的向量组必线性相关. 在一个向量组 1 , 2 ,., m中，任取若干个向量组成的 向量组，叫做 1 , 2 ,., m的部分向量组，简称部分组. (4)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的
第二章矩阵与向量 例3讨论n维向量e1,e2,h,en的线性相关性。 解：设n个数k1,k2,4,kn,使得 ke+ke2+7 +k,en =0 即 (k1,k2,4,kn)=(0,0,L,0)成立， 则必有k,=0,k2=0,4,kn=0, 所以e1,e2,4,en线性无关
第二章 矩阵与向量