第一章函数与极限 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动 的量.所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的种基本 方法，本章将介绍映射、函数，极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些 性质. lopSage.com 第一节映射与函数 映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射 的一种.本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。 一、映射 1.映射概念 定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∫，使得对X中每个元素 x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∫为从X到Y的映射 记作 f:X→Y, 其中y称为元素x（在映射f下)的像，并记作八x),即 y=f八x), 而元素x称为元素y(在映射∫下)的一个原像；集合X称为映射∫的定义域，记 作D,即D,=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作R,或 f(X),即 R,=f(X)={f(x)Ix∈X1 从上述映射的定义中，需要注意的是： (1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X,即定义域D,=X;集合 Y,即值域的范围：R,CY;对应法则，使对每个x∈X,有唯一确定的y= f(x)与之对应. (2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的；而对每个y∈R,元素y的原像不 一定是唯一的；映射f的值域R,是Y的一个子集，即R,CY,不一定R,=Y 1
第一章函数与极限 例1设f:R→R,对每个x∈R,f八x)=x2.显然∫是一个映射，f的定义域D =R,值域R,={yly≥0}，它是R的一个真子集.对于R中的元素y,除y=0外，它 的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个. 例2设X=(x,y)1x2+y21,Y-(x,0)11<1正，对每个 ∈X,有唯一确定的(x,0)∈Y与之对应.显然∫是一个映射f的定 X,值 域R,=Y.在几何上，这个映射表示将平百上一个圆心在原点的单位圆周上的点 投影到x轴的区间[-1,1]上. TopSage.com 例3设受引-1，小，对每个x[受哥到=mxf是-个 映射，其定义域D,-[受，引，值域R=[-1,1 设f是从集合X到集合Y的映射，若R=Y,即Y中任一元素y都是X中某 元素的像，则称∫为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素x,≠ x2,它们的像f(x,)≠f(x),则称f为X到Y的单射：若映射f既是单射，又是满 射，则称∫为一一映射（或双射）. 上面例1中的映射，既非单射，又非满射；例2中的映射不是单射，是满射： 例3中的映射，既是单射，又是满射，因此是一一映射. 映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又 有不同的惯用名称.例如，从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函，从非 空集X到它自身的映射又称为X上的变换，从实数集（或其子集）X到实数集Y 的映射通常称为定义在X上的函数， 2.逆映射与复合映射 设∫是X到Y的单射，则由定义，对每个yeR,有唯一的x∈X,适合 代x)=y.于是，我们可定义一个从R到X的新映射g,即 g:R→X, 对每个y∈R,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射，记作∫'， 其定义域D=R,值域R=X 按上述定义，只有单射才存在逆映射.所以，在例1、例2、例3中，只有例3 中的映射∫才存在逆映射∫'，这个∫就是反正弦函数的主值 f'(x)=arcsin x,xe[-1,1], 其定义域D=[-11山，值城R受引 设有两个映射 。2·
第一节映射与函数 g:X→y, f:y2→Z, 其中Y,CY2,则由映射g和∫可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个 xeX映成f几g(x)]∈Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个 映射称为映射g和了构成的复合映射，记作g,即 fg:X-→7，g)(x)=1g(,xeU 由复合映射的定义可知，映射B和∫构成复合陕射的条件是：g的值域R,必 须包含在∫的定义域内，即R,CD,否则，不能构成复合映财冉些可以知道，映 射g和∫的复合是有顺序的，了·g有意义并不表宗g有意女，脚使 fg与g∫都有意义，复合映射fg与gf也未必相同. 例4设有映射g:R→[-1,1]，对每个x∈R,gx)=sinx,映射f:[-1,1]→ [0,1],对每个u∈[-1,1]，f(4)=√1-t,则映射g和∫构成的复合映射 fg:R→[0,1]，对每个x∈R,有 (fog)(x)=fg(x)]=f(sin x)=v1-sin'x=Icos xl. 二、函数 1.函数的概念 定义设数集DCR,则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为 y=f(x),x∈D, 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D,即D=D. 函数的定义中，对每个x∈D,按对应法则∫，总有唯一确定的值y与之对应 这个值称为函数f在x处的函数值，记作f八x),即y=f(x).因变量y与自变量x 之间的这种依赖关系，通常称为函数关系.函数值f(x)的全体所构成的集合称 为函数∫的值域，记作R或f(D),即 R=f(D)=lyly=f(x),xED. 需要指出，按照上述定义，记号∫和(x)的含义是有区别的：前者表示自变 量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了 叙述方便，习惯上常用记号“f(x),x∈D”或“y=f(x),x∈D”来表示定义在D上 的函数，这时应理解为由它所确定的函数手 表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的∫外，还可用其他的英文字 母或希腊字母，如“g”“F”“p”等.相应地，函数可记作y=g(x),y= F(x),y=P(x)等.有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作y= 3
第一章函数与极限 y(x).但在同一个问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同 的记号来表示它们. 函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素 是：定义域D,及对应法则上如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么 这两个函数就是相同的，否则就是不同的 函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实 青景的函数，根 据实际背景中变量的实际意义确定，例如，在自由落体运动中，设物体下落的时 间为t,下落的距离为s,开始下落的时刻t=0,落地的时刻，则●与夏间的 函数关系是 s=2g,1e[0,T]. 这个函数的定义域就是区间[0，T];另一种是抽象地用算式表达的函数，通常约 定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称 为函数的自然定义域.在这种约定之下，一般的用算式表达的函数可用“y f(x)”表达，而不必再表出Dp例如，函数y=√1-x的定义域是闭区间 【-1门.通数一的定义装是并区间(1 表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法），这在中学 里大家已经熟悉.其中，用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐标平面 上的点集 IP(x,y)ly=f(x),xED! 称为函数y=(x),x∈D的图形（图1-I).图中的R表示函数y=f(x)的值域 下面举几个函数的例子 例5函数 y=2 的定义域D=(-∞，+∞)，值域W=2},它的图形是一条平行于x轴的直线，如 图1-2所示. y=f 图1-1 图1-2
第一节映射与函数 例6函数 x≥0 平男家吸 为绝对值函数， 例7函数 -1, y=sgn x=0, :pSage.com 1, x>0 称为符号函数，它的定义域D=(-∞，+)，值域R,={-1,0,1},它的图形如图 1-4所示.对于任何实数x,下列关系成立： x=8gnx·|xl. 图1-3 图1- 例8设x为任一数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x] 例如，引=0，[2]=1，[]=3，[-1门=-1，【-3.5]=-4把x看作变量，则 函数 y=[x] 的定义域D=(-x,+0',值域R,=乙.它的图形如图1-5所示，这图形称为阶梯 曲线.在x为整数值处，图形发生跳跃，跃度为1这函数称为取整函数. 在例6和例7中看到，有时一个函数要用几个式子表示.这种在自变量的不 同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，通常称为分段函数， 例9函数 y=x)=2E,0ss1, 1+x,x>1 是一个分段函数.它的定义域D=[0,+).当xe[0,1]时，对应的函数值 ·5