第一章，函数与极限 f八x)=2压；当xe(1,+0)时，对应的函数值f(x)=1+x例如，2e[0,1],所以 f分)-2/=21e[0,1,所以)=2=2:3e(1+),所以 f(3)=1+3=4.这函数的图形如图1 6所示 大家网 y=[x] HopSage com 2 y=1+x -432-10234x o 图1-5 图1-6 用几个式子来表示一个（不是几个！）函数，不仅与函数定义并无矛盾，而且 有现实意义.在自然科学和工程技术中，经常会遇到分段函数的情形.例如在等 温过程中，气体压强p与体积V的函数关系，当V不太小时依从玻意耳(Boyle)定 律；当V相当小时，函数关系就要用范德瓦耳斯(van der Waals)方程来表示，即 B,B<, p= V≥V。, 其中k,B,y都是常量. 2.函数的几种特性 (1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集XCD.如果存在数 K,使得 fx)≤K, 对任一x∈X都成立，那么称函数(x)在X上有上界，而K,称为函数f(x)在X 上的一个上界.如果存在数K2,使得 f(x)≥K2 对任一xeX都成立，那么称函数f(x)在X上有下界，而K,称为函数f(x)在X 6
第一节映射与函数 =(x) 衣家网 TopSage.com 图1-11 图1-12 (4)函数的周期性设函数八x)的定义域为D.如果存在一个正数1，使得 对于任一xeD有(x±l)∈D,且 f八x+l)=f(x) 恒成立，那么称f(x)为周期函数，1称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的 周期是指最小正周期. 例如，函数sinx,cosx都是以2π为周期的周期函数；函数tanx是以r为周 期的周期函数 图1-13表示周期为1的一个周期函数.在每个长度为1的区间上，函数图形 有相同的形状 y 图1-13 并非每个周期函数都有最小正周期.下面的函数就属于这种情形. 例10狄利克雷(Dirichlet)函数 D(x)=八，xeQ, 10,xEQ 容易验证这是一个周期函数，任何正有理数，都是它的周期.因为不存在最 小的正有理数，所以它没有最小正周期. 3.反函数与复合函数 作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念. 设函数∫：D→f(D)是单射，则它存在逆映射了'：八D)→D,称此映射∫为函 9
第一章函数与极限 数f的反函数 按此定义，对每个yE八D),有唯一的x∈D,使得f(x)=y,于是有 f'(y)=x. 这就是说，反函数∫的对应法则是完全由函数∫的对应法则所确定的， 例如，函数y=x,x∈R是单射，所以它的反函数存在其反鸭数为 x=y.yeR. 由于习损上自变量用x表示，因变量用)表示活稀S的是税亮税通 常写作y=x宁，x∈R. 一般地，y=f(x),xeD的反函数记成y=∫'(x),aefD) 若f是定义在D上的单调函数，则f:D→(D)是单射，于是∫的反函数广'必 定存在，而且容易证明了也是(D)上的单调函数.事实上，不妨设∫在D上单调 增加，现在来证明∫'在f(D)上也是单调增加的。 任取y,y2∈(D),且y,<y按函数f的定义，对y1,在D内存在唯一的原像 x1,使得(x,)=y1,于是f'(y)=x1:对y2,在D内存在唯一的原像x2,使得f(x） =y2,于是f(y2)=x2 如果x,>x2,则由f(x)单调增加，必有y,>y2;如果，=x,则显然有y=y2这 两种情形都与假设y,<y,不符，故必有x,<x2,即∫(y,)<f(y).这就证明了∫ 在f(D)上是单调增加的 相对于反函数y=∫'(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数.把直接函 数y=(x)和它的反函数y=∫'(x)的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于 直线y=x是对称的（图1-14）.这是因为如果P(a,b)是y=f代x)图形上的点，则 有b=f(a).按反函数的定义，有a=∫'(b),故Q(b,a)是y=f'(x)图形上的点；反 之，若Q(b,a)是y=f'(x)图形上的点，则P(a,b)是y=f(x)图形上的点.而P(a, b)与Q(b,a)是关于直线y=x对称的. 复合函数是复合映射的一种特例，按照通常 v=f(x) V=x 函数的记号，复合函数的概念可如下表述： 设函数y=f(u)的定义域为D,函数u=g(x) y=f(x) Q(b,a) 的定义域为D,且其值域R,CD,则由下式确定 的函数 (a.b) y=f几g(x)],xeD 称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合 函数，它的定义域为D,变量u称为中间变量： 图1-14 函数g与函数∫构成的复合函数，即按“先g后”的次序复合的函数，通常 .10
第一节映射与函数 上的一个下界.如果存在正数M,使得 f(x)I≤M 对任一x∈X都成立，那么称函数f(x)在X上有界.如果这样的M不存在，就称 函数八x)在X上无界：这就是说，如果对于任何正数M,总存在x∈X,使 f(x,)I>M,那么函数f(x)在X上无界， 例如，就函数f八x)=imx在（，+∞）内来说，数1是它 个界，数-1 是它的一个下界（当然，大于1的任何数也是它的上界，小于一的任何数他是它 的下界).又 lopSage.com Isin xl≤1 对任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)内是有界的.这里M=1 (当然也可取大于1的任何数作为M而使(x)1≤M对任一实数x都成立). 又如函数(x)=上在开区间(0,1)内没有上界，但有下界，例如1就是它的 一个下界.函数(x)=在开区间(0,1)内是无界的，因为不存在这样的正数 M,使≤M对于(0,1)内的一切都成立但是x)=士在区同1,2)内是 有界的，例如可取M=1而使≤1对于一切x（1,2)都成立 容易证明，函数(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有 下界 (2)函数的单调性设函数f八x)的定义域为D,区间1CD.如果对于区间1 上任意两点x,及x2,当x<x,时，恒有 f八x,）<fx2） 那么称函数(x)在区间1上是单调增加的（图1-7）；如果对于区间I上任意两 点x1及x2,当x,<x2时，恒有 f八x)>f2） 那么称函数f八x)在区间1上是单调减少的（图1-8）.单调增加和单调减少的函 数统称为单调函数 例如，函数f八x)=x在区间[0，+∞)上是单调增加的，在区间(-∞，0]上是 单调减少的；在区间(-∞，+∞)内函数f(x)=x2不是单调的（图1-9） 又例如，函数f(x)=x在区间(-∞，+∞)内是单调增加的（图1-10） (3)函数的奇偶性。设函数f(x)的定义域D关于原点对称.如果对于任一 f(-x)=f八x) 7
第一章函数与极限 =fx) 木家网 、Too5 age.com 习1- 图1-8 图1-9 图1-10 恒成立，那么称f八x)为偶函数如果对于任一xeD, f八-x)=-f(x) 恒成立，那么称(x)为奇函数. 例如，f(x)=x是偶函数，因为f八-x)=（-x)2=x2=f(x).又例如，f代x)=x是 奇函数，因为f八-x)=（-x)’=-x=-fx). 偶函数的图形关于y轴是对称的.因为若f(x)是偶函数，则f八-x)=f八x),所 以如果A(x,(x))是图形上的点，那么与它关于y轴对称的点A'(-x,(x)也在 图形上（图1-11）. 奇函数的图形关于原点是对称的.因为若∫(x)是奇函数，则∫(-x)= -(x),所以如果A(x,∫(x)是图形上的点，那么与它关于原点对称的点 A"(-x,-fx))也在图形上（图1-12）. 函数y=sinx是奇函数.函数y=cosx是偶函数.函数y=sinx+cosx既非奇 函数，也非偶函数. 8