《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第3章 矩阵的初等变换与线性方程组（习题课）

5 行最简形矩阵 经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0. 例如 10-1 0 4 0:1 -1 3 0 区回

经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 ５ 行最简形矩阵

6 矩阵的标准形 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0. 例如 10-1 04 c3→c4 10000 01-1 03 C4 +c1+c2 010 0 0 00 0 1-3 001 0 0 .c5-4c1-3c2+3 00 0 0 0 0 00

对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 c c c c c c c c c 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 3 3 ~ + +  − − +               0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ６ 矩阵的标准形

任何一个m×n矩阵，总可以经过初等变换行变 换和列变换)，化为标准形 (Er 此标准形由m,n,r三个数完全确定其中r就是行阶 梯形矩阵中非零行的数. 所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形F是这个等价类中形状最简单的 矩阵

. , , , ), , ( 梯形矩阵中非零行的行数 此标准形由 三个数完全确定其 中 就是行阶 换和列变换 化为标准形 任何一个 矩 阵 总可以经过初等变换行 变 m n r r O O Er O F m n m n       =   所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的 矩阵． F

7 矩阵的秩 定义 在m×n矩阵A中，任取k行和k列，位于这些 行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处 的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵4的 k阶子式 定义设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D, 王王王 且所有r+1阶子式（如果存在的周全等于0，那么 D称为矩阵A的最高阶非零子式数r称为矩阵A 的秩，记作R(A).并规定零矩阵的秩等

定义 . , , , , 2 阶子式 的位置次序而得到的 阶行列式 称为矩阵 的 行列交叉处的 个元素 不改变它们在 中所处 在 矩 阵 中 任 取 行 和 列 位于这些 k k A k A m  n A k k ７ 矩阵的秩 定义 , ( ). 0. , 1 ( ) 0, 0 , 的 秩 记 作 并规定零矩阵的秩等于 称为矩阵 的最高阶非零子式数 称为矩阵 且所有 阶子式 如果存在的话全等于 那 么 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子式 R A D A r A r A r D +

8 矩阵秩的性质及定理 如果A中有一个非零的阶子式，则R(A)≥r； 如果A中所有r+1阶子式都为零则R(A)≤r; R(A)=R(A); 定理 若A~B,则R(A)=R(B); 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数. 区回

如 果A中所有r + 1阶子式都为零,则R(A)  r; R(A ) R(A); T = 定理 若A ~ B,则R(A) = R(B); 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． ８ 矩阵秩的性质及定理 如 果A中有一个非零的r阶子式,则R(A)  r;