3 初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵
三种初等变换对应着三种初等矩阵． ３ 初等矩阵 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵． E
(1)换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵E(i,j). 用m阶初等矩阵Em(i,j)左乘A=(a)mxn,相 当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第 行与第行对调r:)r) 类似地，用n阶初等矩阵En(i,j)右乘矩阵A, 相当于对矩阵4施行第一种初等列变换：把A的 第列与第列对调(c:→c). 区回
( ). : ( , ) ( ) , j r r A A i m E i j A a i j ij m m n = 行与第 行对调 当于对矩阵 施行第一种初等行变换 把 的 第 用 阶初等矩阵 左 乘 相 （１）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 ． ( ). : , ( , ) , i j c c A A n E i j A i j n 第 列与第 列对调 相当于对矩阵 施行第一种初等列变换 把 的 类似地 用 阶初等矩阵 右乘矩阵 E(i, j)
(2)倍法变换：以数k(非零)乘某行( 列)，得初等矩阵E(i(k). 以Em(i(k)左乘矩阵A,相当于以数乘A的 第行(r:×k) 以Em(i(k)右乘矩阵A,相当于以数乘A的 第列(c:×k)
（２）倍法变换：以数 （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵 ． ( ); ( ( )) , i r k E i k A k A i m 第 行 以 左乘矩阵 相当于以数 乘 的 ( ). ( ( )) , i c k E i k A k A i n 第 列 以 右乘矩阵 相当于以数 乘 的 k E(i(k))
(3)消法变换：以数k乘某行（列）加到另 一行（列)上去，得初等矩阵E((k). 以Em(j(k)左乘矩阵A,相当于把4的第行乘 以加到第行上(r:+k； 以E((化)右乘矩阵4，相当于把A的第列乘 以k加到第列上(c,+kc)
（３）消法变换：以数 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 ． ( ); ( ( )) , k i r k r E ij k A A j i j m 以 加到第 行 上 + 以 左乘矩阵 相当于把 的 第 行 乘 ( ). ( ( )) , k j c k c E ij k A A i j i n 以 加到第 列 上 + 以 右乘矩阵 相当于把 的 第 列 乘 k E(ij(k))
4 行阶梯形矩阵 经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行) 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 个非零元 /11-2 1 例如 01 0 00 -3 00
经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 例如 − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 ４ 行阶梯形矩阵