阳似短阵及三次型 第五节 二次型及其标准形 二次型及其标准形的概念 二次型的表示方法 三 二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、小结 思考题 带助
一、二次型及其标准形的概念 定义1含有n个变量x1,x2,xn的二次齐次函数 fx2,x)=auxi+azx2++amxn +2a12X1x2+2a13x1X3+.+2am-L,mxn-1x 称为二次型 当an是复数时，称为复二次型； 当是实数时，称为实二次型
一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型
只含有平方项的二次型 f=kyky++ky 称为二次型的标准形（或法式）· 例如 f(x1,x2,x3)=2x+4x号+5x3-4xx3 f(x1,x2,x3)=xx2+x3+x2x3 都为二次型； f(1,x2,x3)=x2+4x+4x 为二次型的标准形 上页 这回
只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x
二、二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 f(xx2x)=auxi+azx2++amxm +2a12x1x2+2a13x1x3+:+2annx 取an=ag,则2axxi=agxx+aixx,于是 f=411x2+012x1x2++41mx1xn +a21x2x1+02x2+.+a2mx2xn amn+am22+am =】 .a时xixj i,j=1
1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + + 对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j = ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法
2.用矩阵表示 f =a11X1+012X1x2+.+01nx1xm +421X2X1+22X2+.+42nx2xm am+an2x2++amxz =x1(a11x1+412x2+.+a1nxn) +x2(a21x1+a22X2+.+a2mXn) +.+xn(anix1tan2x2++amnxn) 11X1+a12x2+.+a1mxn a21X1+022x2+.+2nxm =（X1,x2,Xn) nlx1+0n2x2+.+amxn 上页
2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )