广州大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十七章 多元函数微分学 17.4 二元函数的泰勒公式（泰勒公式与极值问题）

证:令卯(t)=f(x0+th,y1+tk)(0≤t≤1) 则90(0)=f(x。y0),(1)=f(x0+h,yo+k) 利用多元复合函数求导法则可得 p(t)=hf(o+ht, yo+)+k(xo+ht, yo+kt) 0(0)=(bax+ky)(x0,yo) o(t)=h'fxx(xo+ht, yo +kt) +2hkfxy(o+ht, yo+ kt) +k2/y(x0+ht,y0+k1) →g(0)=(h0+k)2f(xo,y0) HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

证: 令 ( ) ( , ) (0 1),  t = f x0 + th y0 + tk  t  则 (0) ( , ), (1) ( , ) 0 0 0 0  = f x y  = f x + h y + k 利用多元复合函数求导法则可得: ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 t h f x ht y kt k f x ht y kt  = x + + + y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x  y     = + ( ) ( , ) 0 0 2 t h f x ht y kt  = xx + + 2 ( , ) 0 0 hk f x ht y kt + x y + + ( , ) 0 0 2 k f x ht y kt + y y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 2 h k f x y x  y     = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一般地 ()=∑ CHeK m xPOrm-P(ro+ht, yo + ki p (hox+ ov)f(xo 由o(t)的麦克劳林公式得 0(1)=9(0)+(0)+,q(0)+…+n9(0) (n+1) (n+1) (⊙) (0<6<1) 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

( , ) ( ) C 0 0 0 ( ) x y x ht y kt f t h k p m p m p m p m p p m m   + +  = − − =   一般地, (0) ( ) ( , ) 0 0 ( ) h k f x y m x y m      = + 由 (t) 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: (1)余项估计式因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭 邻城其绝对值必有上界M,令p=Vh2+k2,则有 M Rn +kln+l h=pcos a (h+ (n+1) (k=psin a (n力)0"(cosc+sim)1 M 利用max(x+√1-x2)=√2 n+1n+1 n P=0(p") HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + +     + 说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭 邻域其绝对值必有上界 M , 则有 1 ( ) ( 1)! + + +  n n h k n M R       = =     sin cos k h 1 1 ( cos sin ) ( 1)! + + + + = n n n M    max( 1 ) 2 [0,1] 利用 x + − x 1 1 ( 2) ( 1)! + + +  n n n M  ( ) n = o  = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式 f(o+h, yo+k-f(xo,yo) hf(xo +Oh, yo+8k)+kf (xo+0h, y0+Ok) (0<6<1) (3)若函数z=f(x,y)在区域D上的两个一阶偏导数 恒为零,由中值公式可知在该区域上f(x,y)=常数 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k − f x y ( , ) 0 0 h f x h y k = x + + ( , ) 0 0 k f x h y k + y + + (0  1) (3) 若函数 z = f (x, y) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f (x, y) 常数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例求函数f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0)的三阶泰 勒公式 解:fx(x,y)=f(x,y) 1+x+y fxx(x, y)=fxv(x, y)=fv(x, y) (1+x+y af 2 dxPay3-p +x+1)3 (p=0,1,2,3) 3! xp0b(1+x+y)4(V=0,1,2,3,4) 因此,(ha+k,)(0,0)=hf(0,0)+kf10.0)=h+k HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录上页下页返回结束

例1. 求函数 f (x, y) = ln(1+ x + y)在点(0,0) 解: x y f x y f x y x y + + = = 1 1 ( , ) ( , ) 的三阶泰 勒公式. 2 (1 ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y f x y xx x y y y + + − = = = 3 3 3 (1 ) 2! x y x y f p p + + =    − ( p = 0,1,2,3) 4 4 4 (1 ) 3! x y x y f p p + + − =    − ( p = 0,1,2,3,4) 因此, (h k ) f (0, 0) x  y    + (0, 0) (0, 0) x y = h f + k f = h + k 机动 目录 上页 下页 返回 结束