例2.求证(tanx)'=sec2x,(cscx)'=-cscxcotx. 证：((tanx)= =(sin x)'cosx-sinx(cosx) cos-x cos2 x +sin2x =sec2 x 0】 cos-x eY sin2 x sinx =-cscxcotx 类似可证： (cotx)'=-csc2x, (secx)'=secxtanx. HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
(csc x) sin x 1 x 2 sin (sin x) x 2 sin 例2. 求证 (tan ) sec , 2 x x 证: (csc x) csc x cot x . x x x cos sin (tan ) x 2 cos (sin x)cos x sin x (cos x) x 2 cos x 2 cos x 2 sin x 2 sec cos x csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x x (sec x) sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、复合函数求导法则 定理2.u=g(x)在点x可导，y=f(u)在点u=g(x) 可导>复合函数y=[g(x)]在点x可导，且 dy=f(u)g'(x) 证：y=f(u)在点u可导，故1im △y=f'(u △u-→0△2W ∴.△y=f'(u)△u+C△u (当△u>0时C→0) 故有 -fw (△x≠0) dy lim dx △x-→0△X -f HIGH EDUCATION PRESS 机动 上 返回 结束
在点 x 可导, lim x 0 x u x u f u ( ) x y x y x 0 lim d d 二、复合函数求导法则 定理2. u g(x) y f (u) 在点 u g(x) 可导 复合函数 y f [ g(x)] 且 ( ) ( ) d d f u g x x y 在点 x 可导, 证: y f (u) 在点 u 可导, 故 lim ( ) 0 f u u y u y f (u)u u （当 u 0 时 0 ) 故有 f (u)g (x) u y f (u) ( ) ( 0) x x u x u f u x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束