沈阳师范大学：《高等数学》课程教学课件（讲稿）第3章 中值定理与导数的应用 3.4 函数的单调性与极值

例1.确定函数 _f(x)=2x3-9x2+12x-3 的单调区间解: f(x)= 6x2 -18x+12 = 6(x -1)(x -2)令 f'(x)=0, 得 x=1,x=21(-80, 1)(1, 2)2(2, + 80)x+00+f'(x)21f(x)故 f(x)的单调增区间为(-80,1),(2,+);f(x)的单调减区间为(1,2)

例1. 确定函数 3 2 f (x)  2x  9x  12x  3 的单调区间. 解: 2 f (x)  6x  18x  12  6(x 1)(x  2) 令 f (x)  0 , 得 x  1, x  2 x f (x) f (x) ( , 1) 2 0 0 1 (1 , 2) (2,  )    2 1 故 f (x) 的单调增区间为 ( , 1), (2,  ); f (x) 的单调减区间为 (1 , 2). 1 2 O x y 1 2

定理1（函数单调性的判定法）设函数(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(1)如果在(a, b)内f'(x)>0,则(x)在[a, b]上单调增加;(2)如果在(a, b)内f(x)<0,则(x)在[a, b]上单调减少说明：关判定法中的开区间可换成其他各种区间例1 判定函数y=x-sin x 在[0, 2元]上的单调性解 因为在(0, 2 元)内y'=1-cos x >0,所以函数 y=x-sin x在[0,2元]上的单调增加

说明： 判定法中的开区间可换成其他各种区间 v定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少 例1 判定函数yxsin x 在[0 2p]上的单调性 解 因为在(0, 2p)内 y 1cos x >0 所以函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调增加

例1判定函数y=x-sin x 在[0,2元]上的单调性解 因为在(0, 2 元)内y'=1-cos x >0,所以函数 y=x-sin x在[0,2元]上的单调增加例2 讨论函数 y=ex-x-1的单调性解 函数y=ex-x-1的定义域为(-oo,o)．y'=ex-1.因为在(-80, 0)内y<0，所以函数 y=ex-x-1在(-80,0]上单调减少；因为在(0, +)内y'>0，所以函数 y=ex-x-1在[0, +o0)上单调增加

因为在( 0)内y<0 所以函数 ye xx1在( 0]上 单调减少 因为在(0 )内y>0 所以函数 ye xx1在[0 )上 单调增加 解 函数ye xx1的定义域为( ) y e x1 例2 讨论函数 ye x x1的单调性 例1 判定函数yxsin x 在[0 2p]上的单调性 解 因为在(0, 2p)内 y 1cos x >0 所以函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调增加

例3讨论函数=3/x2的单调性解 函数的定义域为(-80,+80),2(x≠0)，函数在 x=0 处不可导33/x因为x<0时，y'<0,所以函数在(-,01上单调减少：因为x>0时，y'>0,所以函数在[0,+8)上单调增加yX01x

解 函数的定义域为( ) 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 )上单调增加 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单调减少 例例33 讨论函数 3 2 y  x 的单调性 3 3 2 x y   (x0) 函数在 x0 处不可导

1）单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点.L y= 3/x2例如,=/x2,xE(-00,+0)2说明：2=8x=033/xx0y42)如果函数在某驻点两边导数同号+XV则不改变函数的单调性：例如，= x3,xE(-0,+0)0xJ'= 3x?y|x=0 = 0

y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存 在的点. 例如, , ( , ) 3 2 y  x x    3 3 2 x y   y  x 0   3 2 y  x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, , ( , ) 3 y  x x    2 y   3x 0 y  x0  y o x 3 y  x