4 有限单元法 第15章几何非线性问题 270 15.1变形和位移 (270 15.2应变度量… (276) 15.3应力度量… 280) 15.4本构方程… 283) 15.5平衡方程 (286) 15.6微分方程弱形式… 286) 15.7有限元离散方程… 289) 15.8结语 (296) 习 题… 296) 第16章边界非线性问题 298) 16.1接触问题定义 298) 16.2接触分析原理… 303) 16.3接触问题算法… 304) 16.4结语… 308) 习 题… 309) 第17章有限单元法旁系发展 310) 17.1边界单元法 310) 17.2有限条法 314) 17.3有限元线法 319 17.4 无网格法· 322 17.5结语 326 习 题 (326 参考文献 327)
第１５章 几何非线性问题 （２７０）………………………………………………… １５１ 变形和位移 （２７０）………………………………………………………… １５２ 应变度量 （２７６）…………………………………………………………… １５３ 应力度量 （２８０）…………………………………………………………… １５４ 本构方程 （２８３）…………………………………………………………… １５５ 平衡方程 （２８６）…………………………………………………………… １５６ 微分方程弱形式 （２８６）…………………………………………………… １５７ 有限元离散方程 （２８９）…………………………………………………… １５８ 结语 （２９６）………………………………………………………………… 习 题 （２９６）…………………………………………………………………… 第１６章 边界非线性问题 （２９８）………………………………………………… １６１ 接触问题定义 （２９８）……………………………………………………… １６２ 接触分析原理 （３０３）……………………………………………………… １６３ 接触问题算法 （３０４）……………………………………………………… １６４ 结语 （３０８）………………………………………………………………… 习 题 （３０９）…………………………………………………………………… 第１７章 有限单元法旁系发展 （３１０）…………………………………………… １７１ 边界单元法 （３１０）………………………………………………………… １７２ 有限条法 （３１４）…………………………………………………………… １７３ 有限元线法 （３１９）………………………………………………………… １７４ 无网格法 （３２２）…………………………………………………………… １７５ 结语 （３２６）………………………………………………………………… 习 题 （３２６）…………………………………………………………………… 参考文献 （３２７）……………………………………………………………………… ４ 有限单元法
主要符号 主要符号 单元面积 A 平面问题或板弯曲问题中的单元面积域 a 单元节点位移向量 整体节点位移向量 B,Bi 单元应变矩阵及其子矩阵 Bb Bbi 板单元弯曲应变矩阵及其子矩阵 B Bsi 板单元剪切应变矩阵及其子矩阵 C 阻尼矩阵或柔度矩阵 弹性矩阵 弹性模量 体力向量 G 剪切模量 J,J Jacobi矩阵及其行列式 K,K 单元刚度矩阵，整体刚度矩阵 Li 三角形单元的面积坐标 M 弯矩 M 质量矩阵或薄板弯曲中力矩组成的广义应力向量 M,My Mo 板弯曲问题中垂直x轴和y轴的截面上单位长度 的弯矩及扭矩 N,Ni 单元形函数矩阵，节点；的形函数 P,P 整体荷载向量，单元等效节点荷载向量 面力向量 转换矩阵 单元厚度 单元位移向量 u,v,w 位移向量的分量，表示x,y,之方向的位移 应变向量 6 应力向量 方向余弦矩阵
主 要 符 号 Ａ 单元面积 Ａｅ 平面问题或板弯曲问题中的单元面积域 ａｅ 单元节点位移向量 ａ 整体节点位移向量 Ｂ，Ｂｉ 单元应变矩阵及其子矩阵 Ｂｂ，Ｂｂｉ 板单元弯曲应变矩阵及其子矩阵 Ｂｓ，Ｂｓｉ 板单元剪切应变矩阵及其子矩阵 Ｃ 阻尼矩阵或柔度矩阵 Ｄ 弹性矩阵 Ｅ 弹性模量 ｆ 体力向量 Ｇ 剪切模量 Ｊ，Ｊ Ｊａｃｏｂｉ矩阵及其行列式 Ｋｅ，Ｋ 单元刚度矩阵，整体刚度矩阵 Ｌｉ 三角形单元的面积坐标 Ｍ 弯矩 Ｍ 质量矩阵或薄板弯曲中力矩组成的广义应力向量 Ｍｘ，Ｍｙ，Ｍｘｙ 板弯曲问题中垂直ｘ轴和ｙ轴的截面上单位长度 的弯矩及扭矩 Ｎ，Ｎｉ 单元形函数矩阵，节点ｉ的形函数 Ｐ，Ｐｅ 整体荷载向量，单元等效节点荷载向量 ｐ 面力向量 Ｔ 转换矩阵 ｔ 单元厚度 ｕ 单元位移向量 ｕ，ｖ，ｗ 位移向量的分量，表示ｘ，ｙ，ｚ方向的位移 ε 应变向量 σ 应力向量 方向余弦矩阵 主要符号 １
2 有限单元法 0,0a,0 梁、板、壳法线转角 5,7,5 单元局部坐标或等参坐标 Ⅱc,Ⅱm 余能泛函及修正余能泛函 Lp,Ⅱme 势能泛函及修正势能泛函 2,T 求解域及其边界
θ ， θｘｉ ， θｙｉ 梁、板、壳法线转角 ξ ， η ， ζ 单元局部坐标或等参坐标 Πｃ ， Π ｍ ｃ 余能泛函及修正余能泛函 Πｐ ， Π ｍ ｐ 势能泛函及修正势能泛函 Ω ， Γ 求解域及其边界 ２ 有限单元法
第1章 有限单元法基本程式 有限单元法(Finite Element Method,简称FEMD是一种求解微分方程的近 似方法，起点自然是针对物理或工程问题建立起来的微分方程，包括控制方程和 边界条件：而有限元分析程式早己标准化，典型步骤包括结构或区域离散、单元 分析、整体分析和数值求解。 本章以弹性力学平面问题为例，阐述有限单元法的基本概念与程式。采用 有限单元法求解平面问题不仅简单，而且具有典型性。掌握了平面问题的有限 元分析方法，就可以很容易地推广到其他问题中去。 1.1弹性力学平面问题 1.1.1基本概念 平面问题是指这样一些问题，其结构尺寸及荷载分布沿某个方向（通常取为 之轴)不变，且具有特殊的边界条件。这样，结构内部的应力和应变就与之坐标 无关，而只是x,y坐标的函数。平面问题分为两种，即平面应力问题和平面应 变问题。 1)平面应力问题 如果在结构内部只存在xy平面内的三个应力分量。，o,c,而另外三个 应力分量=xa=x=0,则称为平面应力问题。例如，只承受纵向面内荷载 的薄板就可近似地视为这种问题（图1.1）：由于板很薄，故可认为应力和应变 与之坐标无关。再注意到平板两面上的a,=x=t=0,便可近似地认为这些 应力分量在板内也为零。对于各向同性线性弹性介质，根据广义Hooke定律， 平面应力问题中的Yz和Y,显然为零，而e:由下式确定 ,=-(+） 1.1) 其中，E为弹性模量：v为泊松比
第 １章 有限单元法基本程式 有限单元法（ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄ，简称ＦＥＭ）是一种求解微分方程的近 似方法，起点自然是针对物理或工程问题建立起来的微分方程，包括控制方程和 边界条件；而有限元分析程式早已标准化，典型步骤包括结构或区域离散、单元 分析、整体分析和数值求解。 本章以弹性力学平面问题为例，阐述有限单元法的基本概念与程式。采用 有限单元法求解平面问题不仅简单，而且具有典型性。掌握了平面问题的有限 元分析方法，就可以很容易地推广到其他问题中去。 １１ 弹性力学平面问题 １１１ 基本概念 平面问题是指这样一些问题，其结构尺寸及荷载分布沿某个方向（通常取为 ｚ轴）不变，且具有特殊的边界条件。这样，结构内部的应力和应变就与ｚ坐标 无关，而只是ｘ，ｙ坐标的函数。平面问题分为两种，即平面应力问题和平面应 变问题。 （１）平面应力问题 如果在结构内部只存在ｘｙ平面内的三个应力分量σｘ，σｙ，τｘｙ，而另外三个 应力分量σｚ＝τｚｘ＝τｚｙ＝０，则称为平面应力问题。例如，只承受纵向面内荷载 的薄板就可近似地视为这种问题（图１１ａ）：由于板很薄，故可认为应力和应变 与ｚ坐标无关。再注意到平板两面上的σｚ＝τｚｘ＝τｚｙ＝０，便可近似地认为这些 应力分量在板内也为零。对于各向同性线性弹性介质，根据广义 Ｈｏｏｋｅ定律， 平面应力问题中的γｚｘ和γｚｙ显然为零，而εｚ由下式确定 εｚ＝－ν Ｅ（ ） σｘ＋σｙ （１１） 其中，Ｅ 为弹性模量；ν为泊松比
第1章有限单元法基本程式 (a)平面应力 图1.1平面问题 )平面应变 )平面应变问题 如果在结构内部只存在xy平面内的三个应变分量e,Ev,Y,而另外三个 应变分量：=Yx=Y=0,则称为平面应变问题。很多结构分析问题都可简化 为平面应变问题，例如水坝、挡土墙、边坡、厚壁圆筒、隧道等。对于各向同性线 性弹性介质，根据广义Hooke定律，平面应变问题中的x和x,显然也为零，而 o:由下式确定 as=y (a,+ay) 1.2) 在平面问题无论平面应力还是平面应变)中，非零或独立的应力和应变只 有三个，即a,oy,x和ex,y,Y,其向量式分别为 Er ay to]T, E=y =Ler Ey]T 非零或独立的位移分量有两个，即沿坐标轴x,y方向的位移，o,记为 u =[u v]T 1.1.2控制方程 ①)平衡方程 平衡微分方程简称平衡方程，它所描述的是物体或结构内部应力与外部体 积力之间的关系。在平面问题中，平衡方程为 ++X=0】 .3) 2+0+y-0
图１１ 平面问题 （２）平面应变问题 如果在结构内部只存在ｘｙ平面内的三个应变分量εｘ，εｙ，γｘｙ，而另外三个 应变分量εｚ＝γｚｘ＝γｚｙ＝０，则称为平面应变问题。很多结构分析问题都可简化 为平面应变问题，例如水坝、挡土墙、边坡、厚壁圆筒、隧道等。对于各向同性线 性弹性介质，根据广义 Ｈｏｏｋｅ定律，平面应变问题中的τｚｘ和τｚｙ显然也为零，而 σｚ由下式确定 σｚ＝ν（σｘ＋σｙ） （１２） 在平面问题（无论平面应力还是平面应变）中，非零或独立的应力和应变只 有三个，即σｘ，σｙ，τｘｙ和εｘ，εｙ，γｘｙ，其向量式分别为 σ＝ σｘ σｙ τｘ 烅 烄 烆 烍 烌 ｙ烎 ＝［ ］ σｘ σｙ τｘｙ Ｔ， ε＝ εｘ εｙ γｘ 烅 烄 烆 烍 烌 ｙ烎 ＝［ ］ εｘ εｙ γｘｙ Ｔ 非零或独立的位移分量有两个，即沿坐标轴ｘ，ｙ方向的位移ｕ，ｖ，记为 ｕ＝ ｕ 烅 烄 烆 烍 烌 ｖ烎 ＝［ ］ ｕ ｖ Ｔ １１２ 控制方程 （１）平衡方程 平衡微分方程简称平衡方程，它所描述的是物体或结构内部应力与外部体 积力之间的关系。在平面问题中，平衡方程为 σｘ ｘ＋ τｙｘ ｙ ＋Ｘ＝０ τｘｙ ｘ ＋ σｙ ｙ ＋Ｙ 烍 烌 ＝０烎 （１３） ２ 第１章 有限单元法基本程式