例1. = /x(x3 =4cos x-sinl),求y'及ylx=l解: y'=(x)(x3 -4cos x-sinl)+/x (x3 - 4cos x-sinl)-4cosx-sin1)+/x(3x2 +4sinx)22x(1-4cos1- sin1) +(3+ 4sin1)277sin1-2cos122oleo0x机动目录上页下页返回结束
例1. 解: + 4sin x (1 2 1 − sin1) ( 4cos sin1) , 3 y = x x − x − y = ( x ) + x = ( − 4cos − sin1) + 2 1 3 x x x 2 x (3 x ) y x=1 = − 4cos1 + (3+ 4sin1) sin1 2cos1 2 7 2 7 = + − ( 4cos sin1) 3 x − x − ( 4cos sin1) 3 x − x − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3)（")_u-u'21u(x)则有证：设 f(x)=v(x)u(x+h) u(x)f(x+h)- f(x)v(x +h)v(x)f'(x) = limlimhhh-→0h-→0v(x+h) -v(x)u(x+h) -u(x)2 v(x) -u(x)1hh= limh-→0v(x +h)v(x)u'(x)v(x)-u(x)v(x)故结论成立v?(x)(S)==C推论：（C为常数）.2VVoeolo0x机动目录上页下页返回结束
+ = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + h u(x)v(x) (3) ( ) 2 v u v u v v u − = 证: 设 f (x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − h u(x + h) − u (x) v(x) h v(x + h) − u(x) − v(x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u x v x − u x v x = 推论: ( ) 2 v Cv v C − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )
例2. 求证(tan x)= sec2 x,(csc x)=-csc xcot x .sin x(sin x)'cos x - sin x(cos x)证： (tan x)=1cos~ xcoS x2cOSx + sin= xO secxcos-x(sin x)"- cos x(csc x)22sinxsin' xsin' x= -cscxcot x类似可证：(cot x)'=-csc2 x，(sec x)'= secxtanx.oeo00x机动目录上页下页返回结束
(csc x) = sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例2. 求证 证: = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x)cos x − sin x (cos x) = x 2 cosx 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = −csc xcot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x = − x (sec x) = sec x tan x . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、反函数的求导法则定理2.设y= f(x)为x=f-l(y)的反函数，f-(y)在的某邻域内单调可导，且［f-(y)}" d y11或f'(x)d x[f-l(y)}'d xdy证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知1AyAy= f(x+△x)- f(x) + O, :AxAxAy且由反函数的连续性知△x→0时必有△→0，因此y11f'(x)= limlimAxAx->0 △xAy->0[f-"(y)]AyO10000x机动目录上页下页返回结束
f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1 − 且 f y d d = x y 或 x 0, y = f (x + x) − f (x) 0, = x y y x x → 0时必有y → 0, x y f x x = →0 ( ) lim lim →0 = y y x y x d d = 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束