3交错级数及收敛性 交错级数∑(-1)an满足:(1)a1单调下降, (2) lim a=0,则级数收敛。 4绝对收敛及条件收敛 对级数∑n,若级数∑n|收敛,则称级数是绝对 收敛的,若级数∑n收敛,而级数∑xn发散,则 称级数是条件收敛的
3.交错级数及收敛性 交错级数 满足：(1) an单调下降， 1 1 ( 1)n n n a ∞ − = ∑ − lim 0 n n a → ∞ (2) = ，则级数收敛。 4.绝对收敛及条件收敛 对级数 ，若级数 收敛，则称级数是绝对 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n u ∞ = ∑ 收敛的；若级数 收敛，而级数 发散，则 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n u ∞ = ∑ 称级数是条件收敛的
若∑n绝对收敛,则 (1)∑un收敛,且∑ln=∑l-∑un; (2)级数∑n的更序级数也收敛,且和不变
若 绝对收敛，则 1 n n u ∞ = ∑ (1) 收敛，且 ； 1 n n u ∞ = ∑ 1 1 1 n n n n n n u u u ∞ ∞ ∞ + − = = = ∑ = − ∑ ∑ (2)级数 的更序级数也收敛，且和不变。 1 n n u ∞ = ∑
二、幂级数 1幂级数的收敛半径 设幂级数∑anx",收敛半径为R 1比值法:若limP=p,则R=n。 2)根值法:若 lim va|=p,则R=
二、幂级数 1.幂级数的收敛半径 设幂级数 ，收敛半径为R， 0 n n n a x ∞ = ∑ 1)比值法：若 lim n 1 , 则R= 。 n n a a ρ + → ∞ = 1 ρ 2)根值法：若 lim n n ，则R= 。 n a ρ → ∞ = 1 ρ
42幂级数的运算 设幂级数∑ax及∑bx,收敛半径分别为R1和 R2,令R=min{R,R2},则当x<R时,两级数均为绝对 收敛,且有 ∑b2x2=∑(an±bn) ∑ax”∑bx=∑∑
2.幂级数的运算 设幂级数 及 ，收敛半径分别为R1和 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n b x ∞ = ∑ R2，令R=min{R1, R2}，则当|x|<R时，两级数均为绝对 收敛，且有： ( ) 0 0 0 n n n n n n n n n n a x b x a b x ∞ ∞ ∞ = = = ∑ ∑± = ∑ ± 0 0 0 n n n n n i j n n n i j n a x b x a b x ∞ ∞ ∞ = = = + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ d n+1 ∑qx|=∑(ax)=∑n na x
1 0 0 0 0 0 1 . 1 x x n n n n n n n n n a x dx axdx a x n ∞ ∞ ∞ + = = = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ( ) 1 0 0 1 . n n n n n n n n n a x a x n a x ∞ ∞ ∞ − = = = ′ ⎛ ⎞ ′ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑