第2章微积分的直接基础一函数 §2.1数列极限与函数极限 §2.2极限的性质与运算 §2.3连续函数
第2章微积分的直接基础——函数 §2.1 数列极限与函数极限 §2.2 极限的性质与运算 §2.3 连续函数
S2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 1.数列的定义：以正整数为自变量的函数y=f(n),n=1,2,3,. 时所得到的数值a=f(I),42=f(2),43=f(3),.,an=f(n),. 称为无穷数列，简称数列，记为{an}. ● 芝诺悖论：设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，乌龟龟在前 面10米.当阿基里斯跑了10米时，龟已前进了1米；当阿 基里斯再追1米时，乌龟又前进了0.1米，.把阿基里斯 追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：因为这一列数有 无穷多个，即阿基里斯在有限时间内永远追不上乌龟. A B
⚫ 芝诺悖论：设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，乌龟龟在前 面10米. 当阿基里斯跑了10米时，龟已前进了1米；当阿 基里斯再追1米时，乌龟又前进了0.1米，.把阿基里斯 追赶乌龟的距离列出，便得到一列数： 因为这一列数有 无穷多个，即阿基里斯在有限时间内永远追不上乌龟. §2.1 数列极限与函数极限 一、数列极限 y f = (n), n=1, 2, 3, 1 2 3 (1), (2), (3), , ( ), n a f a f a f a f n = = = = { }. n a 1. 数列的定义：以正整数为自变量的函数 时所得到的数值 称为无穷数列，简称数列，记为 A B
§2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 例如： (1).2,4,8.,2. {2"} 1111 (2). 2’48 2 品 (3). 1,-1,1,.,(-1)”+1,. (-1)”-} (4)
§2.1 数列极限与函数极限 一、数列极限 2,4,8, ,2 , ; 例如： n (1). 1 1 1 1 (2). , , , , , ; 2 4 8 2n 1 (3). 1, 1,1, ,( 1) , ; n+ − − 1 1 4 ( 1) (4). 2, , , ,1 , ; 2 3 n n − − + − + − n n 1 ( 1) 1 {( 1) } −1 − n {2 } n } 2 1 { n
S2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 2.数列极限的定义 “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例如截杖问题： 第一天截下后余下的部分为号 第二天截下后余下的部分为1，= 22 第n天截下后余下的部分长为1，=
2. 数列极限的定义 §2.1 数列极限与函数极限 一、数列极限 例如截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 0 1 2 n n l = 1 ; 2 n n 第n l 天截下后余下的部分长为 = 1 1 ; 2 第一天截下后余下的部分为 l = 2 2 1 ; 2 第二天截下后余下的部分为l =
§2.1数列极限与函数极限 一、数列极限 (1)数列极限的定性描述： 如果n无限增大时，数列{an}的通项a,无限接近于常数a, 则称该数列以a为极限，记做 lim a=a,或 Ln→a(n->o). 1h-→oo 此时也称该数列收敛到α.如果不以任何常数为极限，则称 数列发散
§2.1 数列极限与函数极限 一、数列极限 (1) 数列极限的定性描述： 如果n无限增大时，数列 的通项 无限接近于常数a， 则称该数列以a为极限，记做 { }n a n a lim a a, n n = → a → a (n → ). 或 n 此时也称该数列收敛到a. 如果不以任何常数为极限，则称 数列发散