第四章导数的应用问题 4.1中值定理 4.2洛必达法则 4.3函数的单调性与极值
第四章 导数的应用问题 4.1 中值定理 4.2 洛必达法则 4.3 函数的单调性与极值
4.2洛必达法则 两个基本类型不定式解法（洛必达法则） 如果当x→（或x→o)时，两个函数f(x) 与g(x)都趋于零（或都趋于无穷大，那末极限 1imf称为（或°）型不定式. 8(x) 0 00 例如， tanx lim lim →0 x→+olnx 思考：两个无穷小量的比（两个无穷大量的比）的极限是什么？ 常数C 不存在？
4.2 洛必达法则 一 . 两个基本类型不定式解法(洛必达法则) ( ) , ( ) ( ) , ( ) 0 lim . ( ) 0 x a x f x g x f x g x → → 如果当 或 时 两个函数 与 都趋于零（或都趋于无穷大）那末极限 称为 （或 ）型不定式 例如, , tan lim 0 x x x→ + 2 lim , x ln x → x ) 0 0 ( ( ) 思考：两个无穷小量的比（两个无穷大量的比）的极限是什么？ 0 常数C 不存在？
4.2洛必达法则 0 型不定式 0 定理 如果函数f(x)和g(x)满足 (1)当x→或x→o时，函数f(x)→0,8g(x)→0； (2)f'(x)和g'(x)都存在，且g'(x)≠0； 3)lime存在（或为无穷大； 8'(x) 则1imf=limf'(） 8(x) g'(x) 若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续使用 洛必达法则！
4.2 洛必达法则 ( ( ) (1) , ( ) 0, ( ) 0; (2) ( ) '( ) '( ) 0; ( ) (3) lim ( ); '( ) ( ) ( ) lim lim . ( ) '( ) f x g x x a x f x g x f x g x g x f x g x f x f x g x g x → → → → = 如果函数 ）和 满足 当 或 时 函数 和 都存在,且 存在 或为无穷大 则 定理 若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续使用 洛必达法则！ 0 1. 0 型不定式
4.2洛必达法则 f(x)→0，g(x)→0 lim)=lim sinx 8(x) g'(x) 例题1 求lim x→0 解 由于满足洛必达法则的条件 原式=im (s)-lim OSx x→0 (x)' x-→0 1 =1. 例题2 求im- x3-3x+2 x1x3-x2-x+11 检查不满足 解 由于满足洛必达法则的条件 定理条件！ 原式=im、 3x2-3 6x 3 lim t→13x2-2x-1x16x-2 2
4.2 洛必达法则 例题1 解 由于满足洛必达法则的条件 0 sin lim . x x → x 求 0 (sin ) lim ( ) x x → x = 原式 0 cos lim x 1 x → = = 1. 例题2 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim 1 − = → x x x . 2 3 = ) 0 0 ( ) 0 0 ( 检查不满足 定理条件！ f x g x ( ) 0, ( ) 0 → → ( ) ( ) lim lim ( ) '( ) f x f x g x g x = 解 由于满足洛必达法则的条件
4.2洛必达法则 2.”型不定式 00 定理 如果函数f(x)和g(x)满足 (①)当x→a或x→o时，函数f(x)→o,g(x)→o; (2)f'(x)和g'(x)都存在，且g'(x)≠0； (3)1im四存在（或为无穷大片 8'(x) 则imf9=1imf'x) g(x) g'(x) 若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续 使用洛必达法则！
4.2 洛必达法则 ( ( ) (1) , ( ) , ( ) ; (2) ( ) '( ) '( ) 0; ( ) (3) lim ( ); '( ) ( ) ( ) lim lim . ( ) '( ) f x g x x a x f x g x f x g x g x f x g x f x f x g x g x → → → → = 如果函数 ）和 满足 当 或 时 函数 和 都存在,且 存在 或为无穷大 则 定理 2. 型不定式 若用了一次洛必达之后，仍符合洛必达条件，则可继续 使用洛必达法则！