第四章导数的应用问题 4.1中值定理 4.2洛必达法则 4.3函数的单调性与极值
第四章 导数的应用问题 4.1 中值定理 4.2 洛必达法则 4.3 函数的单调性与极值
4.1中值定理 一.费马定理 皮埃尔·德·费马(Fermat),法国 律师和业余数学家。他对数论最有兴 趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。 费马在笛卡尔《几何学》发表 之前，就于1629年发现了解析几何 的基本原理，建立了坐标法，是解析 几何的发明人之一，同年写了《求最 大最小值的方法》。 费马善于思考，特别善于猜想， 费马(1601-1665) 提出了数论中的许多猜想，人们也称 费马是“猜想数学家”。 x”+y”=z
4.1 中值定理 一. 费马定理 费马在笛卡尔《几何学》发表 之前，就于1629年发现了解析几何 的基本原理，建立了坐标法，是解析 几何的发明人之一，同年写了《求最 大最小值的方法》。 费马善于思考，特别善于猜想， 费马 (1601-1665) 提出了数论中的许多猜想，人们也称 费马是“猜想数学家”。 皮埃尔·德·费马(Fermat)，法国 律师和业余数学家。他对数论最有兴 趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。 n n n x y z + =
4.1中值定理 1.极值的定义 设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x,是(a,b)内的一个点， 如果存在着点x的一个邻域， 对于这邻域内的任何异于x的点飞，f(x)<f(x) 均成立，就称fx)是函数f(x)的一个极大值； Xo 对于这邻域内的任何异于x,的点x,f(x)>f(x) 均成立，就称f(x)是函数f(x)的一个极小值
4.1 中值定理 0 0 ( ) ( , ) , ( , ) , , f x a b x a b x 设函数 在区间 内有定义 是 内的一个点 如果存在着点 的一个邻域 0 0 0 , ( ) ( ) , ( ) ( ) ; x x f x f x f x f x 对于这邻域内的任何异于 的点 均成立 就称 是函数 的一个极大值 0 0 0 , ( ) ( ) , ( ) ( ) . x x f x f x f x f x 对于这邻域内的任何异于 的点 均成立 就称 是函数 的一个极小值 1. 极值的定义
4.1中值定理 2.费马定理 费马定理：如果x,是函数f(x)的极值点，并且f(x) 在x可导，那么f'(x)=0. y=f(x) 01 使f'(x)为零的点叫做函数f(x)的驻点. 明 可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点， 但函数的驻点却不一定是极值点
4.1 中值定理 0 0 0 ( ) ( ) '( ) 0. x f x f x x f x = 费马定理：如果 是函数 的极值点，并且 在 可导，那么 2. 费马定理 使f x f x '( ) ( ) . 为零的点叫做函数 的驻点 . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 说 明
4.1中值定理 二.拉格朗日微分中值定理 如果函数f(x)满足 (1)在闭区间4，b连续，(2)在开区间(a,b)可导， 那么在开区间(a,b)内至少存在一点5，使得 f'(5)=f)-fa b-a 说明 右端表示平均变化率，左端表示 y=f(9 内点处函数的局部变化率，中值定 理是联接局部和整体的纽带 物理意义：整体的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度 ￥bx
1 2 4.1 中值定理 二. 拉格朗日微分中值定理 ( ) (1) [ , ] , (2) ( , ) , ( , ) f x a b a b a b 如果函数 满足 在闭区间 连续 在开区间 可导 那么在开区间 内至少存在一点 ，使得 ( ) ( ) '( ) f b f a f b a − − ＝ 说明 右端表示平均变化率，左端表示 内点处函数的局部变化率,中值定 理是联接局部和整体的纽带. 物理意义：整体的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度