第六章求总量的问题定积分 教学要求(1)理解定积分的概念，了解函数可积的充分条件及必要条件：掌握 定积分的基本性质：(2课时)： 2 理解微积分的基本定理：熟练掌握定积分的换元积分法和分部积 分法：(2课时) (3)了解无穷区间广义积分的概念：掌握一些简单的计算方法：会利 用定积分计算一些简单的平面图形的面积，由截面面积求体积。(2课时) 教学重点定积分的概念：定积分的计算：定积分的几何应用 教学难点微积分基本定理，定积分的应用 第一节特殊和式的极限—定积分的概念 不定积分与定积分既有区别又有联系.定积分起源于求图形的面积和体积等 实际问题.古希腊和中国古代的数学家都曾用“穷竭法”计算过一些几何体的面 积和体积，直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念，并发 现了积分和微分之间的内在联系，提供了计算微积分的一般方法，从而使定积分 称为解决有关实际问题的有力工具，并使各自独立的微分学和积分学联系在 起，构成理论体系完整的微积分学. 一、 抽象定积分概念的两个原型 1.求曲边梯形的面积： f()为闭区间[a,b)]上的连续函 f5) 数，且f(x)≥0.由曲线y=f(x) 直线x=a,x=b及x轴所围成的平 面图形，称为f)在闭区间a,o 上的曲边梯形.如何求此曲边梯形的面积S? 2.求变速直线运动的路程 设某物体做直线运动，已知速度v=()是时间间隔T=[a,b]关于1的连续函 数，且()≥0，如何求物体在时间T内所经过的路程s? 二、定积分的概念 1.定义：设f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 1
1 第六章 求总量的问题-定积分 教学要求 （1） 理解定积分的概念，了解函数可积的充分条件及必要条件；掌握 定积分的基本性质；(2 课时)； （2） 理解微积分的基本定理；熟练掌握定积分的换元积分法和分部积 分法；(2 课时) （3） 了解无穷区间广义积分的概念；掌握一些简单的计算方法；会利 用定积分计算一些简单的平面图形的面积，由截面面积求体积.（2 课时） 教学重点 定积分的概念；定积分的计算；定积分的几何应用 教学难点 微积分基本定理，定积分的应用 第一节 特殊和式的极限——定积分的概念 不定积分与定积分既有区别又有联系.定积分起源于求图形的面积和体积等 实际问题.古希腊和中国古代的数学家都曾用“穷竭法”计算过一些几何体的面 积和体积，直到 17 世纪中叶，牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念，并发 现了积分和微分之间的内在联系，提供了计算微积分的一般方法，从而使定积分 称为解决有关实际问题的有力工具，并使各自独立的微分学和积分学联系在一 起，构成理论体系完整的微积分学. 一、 抽象定积分概念的两个原型 1. 求曲边梯形的面积: f (x) 为闭区间 [a,b] 上的连续函 数，且 f x() 0 ≥ . 由曲线 y fx = ( ) ， 直线 x = = ax b , 及x轴所围成的平 面图形，称为 f (x) 在闭区间[a,b] 上的曲边梯形. 如何求此曲边梯形的面积S？ 2. 求变速直线运动的路程 设某物体做直线运动，已知速度v vt = ( ) 是时间间隔T=[a,b]关于t 的连续函 数，且v t() 0 ≥ ，如何求物体在时间T内所经过的路程s？ 二、定积分的概念 1.定义：设 f (x) 在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入若干个分点
a=<x<x2<.<xn-l<xn=b 把区间[a,b)分割成n个小区间 [xo,x],[x,x2],.,[x,xn] 各小区间的长度依次为 △=-0，△x2=2-X,.,Axn=Xn-X 在每个小区间[x,x,]上任取一点：(x1≤：≤x,),作函数值f()与小区间长度 △x,的乘积f(5)△x,(=1,2,n),并作和式 S.=2f5⑤A. 记1=max{Ax,△x,.,△x,如果不论对[a,b]怎样的分法，也不论在小区间 [x,x]上点三怎样取法，只要当入→0时，和Sn总趋于确定的极限I我们就称 这个极限1为函数f(x)在区间a,b]上的定积分，记为 f=1=m2,A· 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dk叫做被积表达式，x叫做积分变量，【a,b1叫做积 分区间 定积分存在称为可积，否则称为不可积 2.定积分的几何意义和物理意义 由定积分的概念，原型1和原型2的问题可以简洁地描述为 ()连续曲线y=fx)≥0在[a,)上构成的曲边梯形的面积为函数y=fx)在 [a,)上的定积分，即S=fx). (2)某物体以速度v=()做直线运动，在时间段T=a,b]内的路程为函数v=() 在[a,b]上的定积分，即s=)dh 应注意，定积分是特殊和式的极限，与被积函数和积分区间有关，与积分变量的 符号无关，即fx)=∫fw)du 2
2 a = x0 < x1 < x2 <"< xn−1 < xn = b 把区间[a,b]分割成 n 个小区间 ] [ , 0 1 x x , [ , ] 1 2 x x , ", ] [ , n 1 n x x − , 各小区间的长度依次为 , 1 1 0 Δx = x − x , 2 2 1 Δx = x − x 1 ,Δ n = n − n− " x x x . 在每个小区间[ , ] i 1 i x x − 上任取一点 ( ), i i 1 i i x ≤ ≤ x ξ − ξ 作函数值 ( )i f ξ 与小区间长度 i Δx 的乘积 i i f (ξ )Δx (i =1,2,",n), 并作和式 ( ) , 1 ∑= = Δ n i n i i S f ξ x 记 max{ , , , }, 1 2 n λ = Δx Δx " Δx 如果不论对 [a,b] 怎样的分法, 也不论在小区间 [ , ] i 1 i x x − 上点ξi怎样取法, 只要当λ → 0 时, 和 Sn 总趋于确定的极限 I, 我们就称 这个极限 I 为函数 f (x) 在区间[a,b]上的定积分, 记为 ∫ ∑= → = = Δ n i i i b a f x dx I f x 1 0 ( ) lim (ξ ) λ ， 其中 f (x) 叫做被积函数, f (x)dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, ] [a,b 叫做积 分区间. 定积分存在称为可积，否则称为不可积。 2. 定积分的几何意义和物理意义 由定积分的概念，原型 1 和原型 2 的问题可以简洁地描述为 (1) 连续曲线 y fx = ≥ () 0 在[a,b] 上构成的曲边梯形的面积为函数 y = f x( ) 在 [a,b]上的定积分，即 ( ) b a S f x dx = ∫ . (2) 某物体以速度v vt = ( ) 做直线运动，在时间段 T= ] [a,b 内的路程为函数v vt = ( ) 在[a,b]上的定积分，即 ( ) b a s v t dt = ∫ . 应注意，定积分是特殊和式的极限，与被积函数和积分区间有关，与积分变量的 符号无关，即 () () . b b a a f x dx f u du = ∫ ∫
三、可积的条件 定理1.（可积的必要条件）若函数fx)在a,b1上可积，则f(x)在[a,b1上有界 这个定理指出：可积则有界，无界函数一定不可积 定理2.（可积的充分条件）若f(x)是[a,b]上的连续函数，或者是闭区间[a,b]上 的单调函数，或者是[a,b]上的只有有限个间断点的有界函数，则f(x)在[a,b)上 可积 四、定积分的性质 两点补充规定：(a)当a=b时，fx:=0b)当a>b时 [f(x)dx=-[f(x)dx 性质1fx)±gx=fxd±「gx) 性质2∫广x=心)，(k为常数) 性质3「fx)=「fx)d+fx)d. 性质4ik=k=b-a 性质5（保序性）若在区间[a,b上有fx)sg(x,则[fx)达sgx,(a<b) 推论1若在区间[a,b上fx)≥0，则广fx)d≥0，(a<b). 推论2 rxdsrx)(a<b) 性质6（有界性）设M及m分别是函数fx)在区间[a,]上的最大值及最小值， 则 m(b-a)s [f(x)dxs M(b-a). 性质7（定积分中值定理）如果函数 f(x) fx)在闭区间[a,1上连续，则在[a,b1上至少 f⑨ f(x)dr 存在一个点5，使 f()(b-a) f(xyks-M(EXb-a).(asisb)
3 三、可积的条件 定理 1. (可积的必要条件) 若函数 f ( ) x 在[a,b]上可积，则 f ( ) x 在[a,b]上有界. 这个定理指出：可积则有界，无界函数一定不可积. 定理 2.（可积的充分条件）若 f ( ) x 是[a,b]上的连续函数，或者是闭区间[a,b]上 的单调函数，或者是[a,b]上的只有有限个间断点的有界函数，则 f ( ) x 在[a,b]上 可积. 四、定积分的性质 两点补充规定： (a) 当 a = b 时 , ( ) = 0; ∫ b a f x dx (b) 当 a > b 时 , ∫ ∫ = − a b b a f (x)dx f (x)dx . 性质 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ ± = ± b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 性质 2 ( ) ( ) , ∫ ∫ = b a b a kf x dx k f x dx (k 为常数). 性质 3 ∫ ∫ ∫ = + b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx . 性质 4 1 dx dx b a. b a b a ⋅ = = − ∫ ∫ 性质 5 (保序性)若在区间[a,b]上有 f (x) ≤ g(x), 则 ( ) ( ) , ∫ ∫ ≤ b a b a f x dx g x dx (a < b). 推论 1 若在区间[a,b]上 f (x) ≥ 0, 则 ( ) ≥ 0, ∫ b a f x dx (a < b). 推论 2 f (x)dx | f (x) | dx (a b). b a b a ≤ < ∫ ∫ 性质 6 (有界性)设 M 及 m 分别是函数 f (x) 在区间[a,b]上的最大值及最小值, 则 m(b a) f (x)dx M (b a). b a − ≤ ≤ − ∫ 性质 7 (定积分中值定理) 如果函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少 存在一个点ξ , 使 f (x)dx f ( )(b a), (a b). b a = − ≤ ≤ ∫ ξ ξ
第二节计算定积分的一般方法—微积分基本定理 一、引入 1.回顾定积分的概念和性质，指出用定义直接计算定积分是非常困难的。 2.回忆高中时所接触到的定积分的计算方法即牛顿一莱布尼茨公式 若f(x)在a,b1上连续，F(x)fx).则有fx)dk=F(b)-F(a) 这一关系从理论上揭示了定积分和不定积分的联系，求定积分的计算转化为先去 求不定积分，提供了规范、统一、简便的算法。 例如：计算x 因为x迹=)+C,所以x迹=)-0)=行画图，说明几何意义. 3提问：（①）牛顿-莱布尼茨公式是如何得到的？ (②)微分和积分之间有怎样的联系？ 徽积分基本定理 1.变上限定积分 设fx)在[a,b涟续，x∈[a,b1由定积分(x)=∫f)d所定义的函数Φ(x)称为 变上限定积分.同理，由定积分平(x)=∫f)d,所定义的函数(x)称为变下 限定积分. 2.微积分基本定理 定理1.若函数fx)在a,b连续，则由变上限定积分定义的函数 p(x)=广f0)d,x∈[a,]在[a,可导，且④(x)=f(x).即函数q(x)在[a,上连 续，且是被积函数在[a,b)上的一个原函数. 正明：设湖a止任意一点，0咀+ea1只需证马-e ()-"fd-"rd="rd+"fd-fd =[f()di=f(5)Ax-f(x+x)Ax.05051. (说明：由积分中值定理，5∈[x,x+△x]和(x)的连续性) :马2-p+m0 注：(1)定理1揭示了微分与定积分两个定义看起来无关的概念之间的内在联 系，因而被称为微积分基本定理
4 第二节 计算定积分的一般方法——微积分基本定理 一、 引入 1.回顾定积分的概念和性质，指出用定义直接计算定积分是非常困难的。 2.回忆高中时所接触到的定积分的计算方法即牛顿—莱布尼茨公式 ( ) [ , ] '( )= ( ). ( ) ( ) ( ). b a f x a b F x f x f x dx F b F a = − 若 在 上连续， 则有∫ 这一关系从理论上揭示了定积分和不定积分的联系，求定积分的计算转化为先去 求不定积分，提供了规范、统一、简便的算法。 例如： 1 0 xdx 计算∫ 1 2 22 0 1 11 , (1 0 ) . 2 22 xdx x C xdx = + = −= 因为 所以 ∫ ∫ 画图，说明几何意义. 3 提问：(1)牛顿-莱布尼茨公式是如何得到的？ (2) 微分和积分之间有怎样的联系？ 二、 微积分基本定理 1. 变上限定积分 设 f ( ) [ , ] [ , ]. x ab x ab 在 连续， ∈ 由定积分 ( ) () x a Φ = x f t dt ∫ 所定义的函数 Φ( ) x 称为 变上限定积分. 同理，由定积分 ( ) () b x Ψ = x f t dt ∫ ，所定义的函数Ψ( ) x 称为变下 限定积分. 2. 微积分基本定理 定 理 1. 若函数 f x ab () [,] 在 连续，则由变上限定积分定义的函数 ( ) () , [ , ] x a Φ= ∈ x f t dt x a b ∫ 在[,] a b 可导，且Φ'( ) ( ) x = f x .即函数Φ( ) x 在[,] a b 上连 续，且是被积函数在[,] a b 上的一个原函数. 证明：设 x为 上任意一点， 且 [ , ] 0 [ , ], ab x x x ab Δ ≠ +Δ ∈ 只需证 0 ( ) lim ( ). x x f x Δ → x ΔΦ = Δ ( ) () () () () () ( ) ( ) = ( ) ,0 1. ( [, ] () ) xx x x xx x a a ax a x x x x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt f x f x x x xx x f x ξθθ ξ +Δ +Δ +Δ ΔΦ = − = + − = = Δ +Δ Δ ≤ ≤ ∈ +Δ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ 说明：由积分中值定理， 和 的连续性. 0 0 ( ) lim lim ( ) ( ) x x x f x x fx x θ Δ→ Δ→ ΔΦ ∴ = +Δ = Δ . 注：(1)定理 1 揭示了微分与定积分两个定义看起来无关的概念之间的内在联 系，因而被称为微积分基本定理
(2)定理1是在函数连续的条件下证明的，因而也就证明了“连续函数必 存在原函数”的命题，并以积分的形式给出了一个原函数. (3)同理可以证明Ψ(x)=-x) 3.牛顿-菜布尼茨公式 (1)公式的推导 定理2.设f(x)[a,b]连续，若F(x)是f(x)[a,b]上的一个原函数，则 广fxd=Fx)t=Fb)-Fa 证明：由题设F(x)是f(x)在a,b1上的一个原函数，又由定理1知道[f(u)d也是 fx)[a,b]上的一个原函数，而f(x)的任意两个原函数只能相差一个常数，即 F(x)=f)dl+C.令x=a,得到C=F(a).令x=b,得到F(b)Ff(x)d+F(a) fx达=Ft=Fb-Fa) (2)公式的解释 物理解释：设一做变速直线运动的物体，t时刻的速度为v(t),路程为S(t), 求在时间段[a,b]内走过的路程S.一方面有S=Sb)-S(a),另一方面，由定积 分的意义S=[v)d.所以v)d=S(b)-S(a),其中S(t)=v(t). (3)公式的应用 例愿1计算亭 解，由于acan是安的一个原函数。 练习计第aaae+h女 三、定积分的换元积分法和分部积分法 由牛顿一莱布尼茨公式知道，求定积分的问题一般归结为先求原函数，从而 可以把求不定积分的方法移植到定积分的计算中来。 定理1.设函数fx)在闭区间[a,]上连续，函数x=)满足条件： (1)pa)=a,p(B)=b,且a≤()sb,te[a,B]: 5
5 (2)定理 1 是在函数连续的条件下证明的，因而也就证明了“连续函数必 存在原函数”的命题，并以积分的形式给出了一个原函数. （3）同理可以证明Ψ =− '( ) ( ). x f x 3. 牛顿-莱布尼茨公式 （1）公式的推导 定理 2.设 f x ab () [,] 在 连续，若 F x f x ab () () [,] 是 在 上的一个原函数，则 ( ) ( ) | ( ) ( ). b b a a f x dx F x F b F a = =− ∫ 证明：由题设 F x f x ab () () [,] 是 在 上的一个原函数,又由定理 1 知道 ( ) x a f t dt ∫ 也是 f x ab () [,] 在 上的一个原函数 ，而 f ( ) x 的任意两个原函数只能相差一个常数，即 ( ) () x a F x f t dt C = + ∫ .令 x = = a C Fa , ( ). 得到 ( )= ( ) + ( ). b a x = b F b f x dx F a 令 ，得到 ∫ ( ) ( ) | ( ) ( ). b b a a ∴ f x dx F x F b F a = =− ∫ （2）公式的解释 物理解释：设一做变速直线运动的物体，t 时刻的速度为 v(t)，路程为 S(t)， 求在时间段[a , b]内走过的路程 S.一方面有 S= S(b)- S(a)，另一方面，由定积 分的意义 S= ( ) b a v t dt ∫ .所以 ( ) b a v t dt ∫ = S(b)- S(a),其中 S’(t)=v(t). （3）公式的应用 例题 1 计算 1 2 11 dx x − + ∫ 解：由于 2 1 arctan 1+ x x 是 的一个原函数， 所以 1 2 1 = arctan1 arctan( 1) ( ) . 1 4 42 dx x π π π − − − = −− = + ∫ 练习：计算 2 21 1 2 2 00 0 (1) , (2) (2 1) , (3) . 1 x x x dx e dx dx x + + ∫∫ ∫ 三、定积分的换元积分法和分部积分法 由牛顿—莱布尼茨公式知道，求定积分的问题一般归结为先求原函数，从而 可以把求不定积分的方法移植到定积分的计算中来. 定理 1.设函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续,函数 x = ϕ(t) 满足条件： （1）ϕ(α) = a, ϕ(β ) = b, 且a t bt ≤ ϕ() , [ , ] ≤ ∈ α β ；