第三章导数与微分 ■§3.1导数的概念 ■§3.2求导的公式与法则 ■§3.3微分及其运算
第三章 导数与微分 ◼ §3.1 导数的概念 ◼ §3.2 求导的公式与法则 ◼ §3.3 微分及其运算
3.3微分及其运算 一、微分概念 1.引例：正方形金属薄片受热后面积的改变量 设边长由x变到x,+△x, :正方形面积A=x2, x△r ∴.△M=(x+△x)2-x A=x0 =2x0·△x+(△x)2. 0-2) ():△的线性函数，且为△4的主要部分； (2):△的高阶无穷小，当△x很小时可忽略
3.3 微分及其运算 1.引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x A 的线性函数, ; 且为 的主要部分 x x 的高阶无穷小, . 当 很小时可忽略 (1): (2): 一、微分概念
3.3微分及其运算 2、微分概念 定义设函数y=f(x)在点x处有增量△x,若相应的函数增 量Ay可表为△y=A△r+o(△x),其中A与△x无关，A△x 称 为△y的线性主部，o(△x)是关于△x的高阶无穷小量，则 称函数y=f(x)在点x处可微，并称A△x为函数y=f(x) 在点x处的微分，记作或df(x),即少=df(x)=A△x. 于是有 △y=d+o(△x) 微分叫做函数增量△的线性主部. (微分的实质)
2、 微分概念 于是有 y = dy +(x). 微分dy y 叫做函数增量 的线性主部. (微分的实质) 3.3 微分及其运算 定义 设函数 在点 处有增量 ，若相应的函数增 量 可表为 其中A 与 无关， 称 为 的线性主部， 是关于 的高阶无穷小量，则 称函数 在点 处可微，并称 为函数 在点 处的微分，记作 ，即 x x x dy = df (x) = Ax. y = f (x) x y y = + y A x x ( ), x Ax (x) y = f (x) Ax y = f (x) dy或df (x) x
3.3微分及其运算 △x很小 △y=f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x)=+o(△x)≈A·△x 说明 (1)△y-=o(△x)是比△x高阶无穷小y (2)当A≠0时，与△y是等价无穷小 :y=1+oA)→1(x→0) y A·△x (3)A是与△x无关的常数，但与f(x)和x,有关； A=f'(xo) (4)当△x很小时，△y≈（线性主部. 令y=x→△x=ydk=1k=k.△x=k
(1) ( ) ; − = y dy o x x 是比 高阶无穷小 (2) 0 , ; 当A dy y 时 与 是等价无穷小 dy y A x o x = + ( ) 1 → → 1 ( 0). x 0 (3) , ( ) ; A x f x x 是与 无关的常数 但与 和 有关 (4) , ( ). 当 x y dy 很小时 线性主部 y f x x f x A x o x dy o x A x x = + − = + = + 很 小 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 A f x = '( ) ' 令y x x y dx dx dx x dx = = = = = 1 . 3.3 微分及其运算 说明
3.3微分及其运算 3.可微与可导的关系 △y=f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x) 由可微定义得 △y=A+0 4=lim △x △x Ay=f"(x) Ar→0△x 所以可微则可导： 反过来，可导则可微 对于函数，求导数与求微分是一回事.即可微与可导等价 Ay≈=y' 对于求函数的增量而言，只需求1次导数，省却了 繁琐的求函数之差的运算，故可简化计算
由可微定义得 lim ( ). 0 f x x y A x = = → 所以可微则可导； 反过来，可导则可微. 对于函数，求导数与求微分是一回事. 即可微与可导等价. 对于求函数的增量而言，只需求1次导数，省却了 繁琐的求函数之差的运算，故可简化计算。 y o x ( ) A x x = + 3.3 微分及其运算 3. 可微与可导的关系 = + − = + y f x x f x A x o x ( ) ( ) ( ) = y dy y dx