3、记号与的区别: :表明z=f(x),且 azi dx daa :表明zf(x,y),但≠2z÷Ox x OX 4、对一元函数:可导一定连续连续不一定可导;但 对多元函数:可导与连续已经没有必然关系多元函数与 元函数的重要区别!
dx dz 3、记号 与 的区别: x z dx dz :表明z=f(x),且 dz dx; dx dz = x z :表明z=f(x,y),但 z x. x z 4、对一元函数:可导一定连续,连续不一定可导;但 对多元函数:可导与连续已经没有必然关系;[多元函数与 一元函数的重要区别!] 续1
【例1】设函数 xy x+ f(x,y)=x+y y x2+y2=0, 求其在点(0,0)处的偏导数。 该函数在 〖解】因为(00是2段函?原点可导,利用 定义求偏导数: f(x,0)-f(0 0-0 f1(0,0)=lm m x-)0 x x f(0.0)=如(0,y)-f(00 0-0 =0
【例1】设函数 + = + = + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 求其在点(0,0)处的偏导数。 〖解〗因为(0,0)是分段函数的分界点,故只能利用 定义求偏导数: x f x f f x x ( ,0) (0,0) (0,0) lim 0 − = → x x 0 0 lim 0 − = → = 0; y f y f f y y (0, ) (0,0) (0,0) lim 0 − = → y y 0 0 lim 0 − = → = 0. □ 例1 该函数在 原点可导, 但不连续!
5、偏导数的几何意义 偏导数f(x,y)在几何上表示曲线r==f(x,y 上点M0(x2y,=)处切线 T T相对于x轴的斜率: ∑ f(o, yo)=tan a 0 ★图中画的是f(x,y 的几何意义 O B
x o y z Ty 0 x 0 y M0 5、偏导数的几何意义 相对于x轴的斜率: Tx ( , ) tan . f x x0 y0 = ★图中画的是 的几何意义. ( , ) 0 0 f x y y 偏导数 在几何上表示曲线 上点 M0 (x0 , y0 ,z0 ) 处切线 = = 0 ( , ), : y y z f x y x ( , ) 0 0 f x y x 偏导几何意义
二、多元显函教傭导的计算 根据偏导数定义,不难看出求显函数的偏导数本 质上就是求一元函数的导数 对二元函数显函数zf(x,y) 视y为常数,对x求导数; xz1 视x为常数,对y求导数。 同理,对三元显函数u=f(x,y,z: am--枧视为常数,对x求导数;其余类推。 OX
二、多元显函数偏导数的计算 根据偏导数定义,不难看出求显函数的偏导数本 质上就是求一元函数的导数. 对二元函数显函数z=f(x,y)： x z -----视y为常数， 对x求导数； y z -----视x为常数， 对 y求导数。 同理，对三元显函数u=f(x,y,z): x u -----视y,z均为常数， 对x求导数；其余类推
【例2】求函数z=x2-2xy2+3y在点(1,2)处 的偏导数。 〖解〗先求偏导函数,再代值 0z d7 x-2y 4xy+9 ax aT (2x-2y2)l=1=-6, OX (-4xy+9y2)|=1=28 (1,2) 2
【例2】求函数 在点(1,2)处 的偏导数。 2 2 3 z = x − 2x y +3y 2 2 , 2 x y x z = − 〖解〗先求偏导函数，再代值。 4 9 , 2 x y y y z = − + (2 2 )| 6, 2 1 2 (1,2) = − = − = = y x x y x z ( 4 9 )| 28. 2 1 2 (1,2) = − + = = = y x x y y y z □ 例2