现考虑动点(x2y)沿直线y=kx趋向(0.,0)情形: k Im f(x, y)=lin im x0(1+k2)x2x01+k21+k2 显然,此路径极限因k而异,故所求极限 m f(,y) 0 J>0 不存在,从而,函数在原点处不连续
现考虑动点(x,y)沿直线y=kx趋向(0,0)情形： ; 1 1 lim (1 ) lim ( , ) lim 2 2 0 2 2 2 0 0 k k k k k x k x f x y x x y kx x + = + = + = → → = → 显然，此路径极限因k而异，故所求极限 lim ( , ) 0 0 f x y y x → → 不存在，从而，函数在原点处不连续。 □ 续
五、二元函款偏增量与全增量 设函数z=f(xy)在点P(x2y)的邻域内有定义 增量 A, z=f(x+Ar,y)-f(x, y) A, 2=f(x, y+Ay)-f(x, y) 分别称为函数z=f(x2y)在点(x2y)y (x+△x,y+△y) 处关于x和关于y的偏增量; (x,by+△y) ·(x+△x,y) 而增量 x,y △=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) 称为函数z=f(xy)在点x2y) 处的全增量
五、二元函数偏增量与全增量 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的邻域内有定义. O x y (x, y) (x + x, y) (x, y + y) (x + x, y + y) 增量 z f (x x, y) f (x, y) x = + − z f (x, y y) f (x, y) y = + − 分别称为函数z=f(x,y)在点(x,y) 处关于x和关于y的偏增量； 而增量 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 称为函数z=f(x,y)在点(x,y) 处的全增量
§2、偏导数 亲偏导数概念 亲显函数偏导数的计算
§2、偏导数 偏导数概念 显函数偏导数的计算
儡导 元函数 导数定义 定义1设函数(x)在点P(x)0试式,如项内有定 义。如果极限 (x+△x,y)-f(x,y im Oxx=x04x→>0 y=yo △ 存在(有限值),则称函数zf(x,y)在点P0(x0,)处关于x可 导并称其极限值为函数zf(x2y)在点P(x0,y)处关于x的 偏导数记为 f(xo, yo), =*x=xo ax x=xo yo Cx x=xo y=yo -yo
x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 定义1 设函数z=f(x,y)在点 的某邻域内有定 义。如果极限 ( , ) 0 0 0 P x y 存在(有限值),则称函数z=f(x,y)在点 处关于 x可 导,并称其极限值为函数z=f(x,y)在点 处关于x的 偏导数,记为 ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) 0 0 0 P x y , ( , ), , . 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y y x x x x x x y y x x x f f x y z x z = = = = = = = = = 0 0 y y x x x z 一、偏导数 一元函数 导数定义 式
同理函数z(x,y)在点P(x,y)处关于y的偏导数 =m f(ro, yo +Ay)-f(o, yo dlx=xo Ay->0 △1 1、当∫(x,y)f,(x,y)均存在时,称函数z-(x,y) 在点(x02y)处可导; 2、如果zf(x,y)在区域D内每一点处均可导则称函 数z=f(xy)在区域D内可导;此时存在偏导函数记为 0z x,y
y f x y y f x y y z y y y x x + − = → = = ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 同理,函数z=f(x,y)在点 P0 (x0 , y0 ) 处关于y的偏导数 1、当 均存在时,称函数z=f(x,y) 在点 处可导; ( , ), ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x y ( , ) 0 0 x y 2、如果z=f(x,y)在区域D内每一点处均可导,则称函 数z=f(x,y)在区域D内可导;此时,存在偏导函数,记为 x f f x y z x z x x , ( , ), , y f f x y z y z y y , ( , ), , 说明