第二节收敛数列的性质 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合
第二节 收敛数列的性质 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
数列极限的性质 1有界性 定理1收敛的数列必定有界 证设 limr=,由定义,取ε=1, 则N,使得当n>N时恒有xn-a<1, 即有a-1<x,<a+1. 记M=max{x1,…,xx,a-1,a+1}, 则对一切自然数n,皆有xn≤M,故{xn有界 注意:有界性是数列 推论无界数列必定发散 收敛的必要条件
定理1 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = → 设 由定义, 取 = 1, N, n N x − a 1, 则 使得当 时恒有 n a − 1 x a + 1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1 xN a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n 故 有界. xn 注意：有界性是数列 收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 一、数列极限的性质 1.有界性
2唯一性 定理2每个收敛的数列只有一个极限 证设imxn=a,又imxn=b,a<b由定义, b-a 对于E= 彐N1,N2使得 当n>N时恒有xn-a<;取N=max{N,N2} 当n>N2时恒有xn-b<E; 则当n>N时有xn-a< b-a b-a xu-b< a+b a+b 即 矛盾! 2 上式仅当n=时才能成立故极限睢-國
2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 x a xn b a b n n n = = → → 设 lim ,又 lim , 由定义, 对 于 , , .使 得 2 N1 N2 b a − = ; 1 n N x − a 当 时恒有 n ; 2 n N x − b 当 时恒有 n max , , 取N = N1 N2 则当n N时有 2 b a xn a − − 即 矛盾！ 2 , 2 a b x a b xn n + + 上式仅当a = b时才能成立. 故极限唯一. 2 b a xn b − −
3保号性 定理3若ian=a>0(或a<0),则对任意r∈(0,a) (或r∈(0,a)),彐N,n>N时有an>r(或an<r) 4保不等性 定理4若 lim an,, lim bu均存在,并且3N,n>M时an≤bn 则 lima.≤limb n→0
3.保号性 定理3 若 ，则对任意 .（或 ） ， lim = 0( 0) → an a a n 或 r (0,a) r (0,a) N, n N a r( a r) 时有 n 或 n 定理4 若 均存在，并且 则： 4.保不等性 n n n n a b → → lim ,lim N n N an bn , 时 n n n n a b → → lim lim
例1设xn>0,且imxn=a>0, 求证im、xn=√a n→0 证任给e>0,: limx=a, 丑N使得当n>N时恒有xn-a<E, 从而有xn-√A、<n-a6 .+√a < √ 故imxn=√a n→0
例 1 lim . 0, lim 0, x a x x a n n n n n = = → → 求证设 且 证 任给 0 , lim x a. n n = → 故 lim x a, n n = → N n N x a , n 使得当 时恒有 − x a x a x a nn n +− 从而有 − = a x a n − a