第四节两个重要极限 冯永平 Fypmathagzhu. edu.cn 合
第四节 两个重要极限 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
lim sinx B x→>0 0 D 设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x<) 作单位圆的切线,得△ACO 扇形OAB的圆心角为x,△OAB的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB,tanx=AC
A C 一 1 sin lim 0 = → x x x ) 2 , , (0 设单位圆 O 圆心角AOB = x x 于是有sin x = BD, x = 弧AB, tan x = AC, x o B D 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD
.sinx<x<tanx,即cosx< SInd <1, 上式对于-<x<0也成立.当0<x<时, 2 2 0<cos x-1=1-cos x=2sin2 <20 2 2 2 lim=0, . lim(1-cos x)=0, x→0 →0 sInd lim cosx=1,又:lim1= x→0 →0 0
sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x 0 . 2 上式对于 也成立 − x , 2 当 0 时 x 0 cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x lim(1 cos ) 0, 0 − = → x x limcos 1, 0 = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1. sin lim 0 = → x x x
1-cosx 例1求lm22 2sin SIn 解原式=im 2 lim 2 →>0x 2x→>0x
例 1 . 1 cos lim 2 0 x x x − → 求 解 22 0 2 2sin lim x x x → 原式 = 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 21 x x x → = 2 0 ) 2 2 sin lim ( 21 x x x → = 2 1 21 = . 21 =
lim(1+-) x→0 设 十 n n 1+ ln(n-1).1 n(n-1)…(n-n+1 2 1+1+,(1--)+…+ 饥(、 (-25.(1-2-1 n n n+1 =1+1+-( )+…+二(1 )(1 )…(1 n n n+2 n 十 n+相、2 (n+D(1 n n n+1
二 e x x x + = → ) 1 lim(1 n n n x ) 1 设 = (1 + + − = + + 2 1 2! 1 ( 1) 1! 1 n n n n n ). 1 ) (1 2 )(1 1 (1 ! 1 ) 1 (1 2! 1 1 1 n n n n n n − = + + − ++ − − − n n n n n n n 1 ! ( 1) ( 1) − − + + ). 1 ) (1 2 2 )(1 1 1 (1 ( 1)! 1 ) 1 1 ) (1 2 2 )(1 1 1 (1 ! 1 ) 1 1 (1 2! 1 1 1 1 + − + − + − + + + − − + − + + + − + = + + − + n n n n n n n n n n n xn