例3】求函数z=h的偏导数。 复合函数 〖解】视y为常数,对x求导得:求导法则 az。1a(y)_x/y Ox y/x Oxx X 视x为常数,对y求导得: ay y/x olx x y
例3 【例3】求函数 的偏导数。 x y z = ln , 1 ( ) 1 2 x x y y x x y x y x x z = − = − = 〖解〗视y为常数，对x求导得： 复合函数 求导法则 视x为常数，对y 求导得： . 1 1 1 y x y x x y y y x y z = = = □
例4】求函数u=x的偏导数。 〖解〗视yz为常数,对x求导得: W 幂函数导数公式 视x,为常数,对y求导得:指数函数导数公式 0(y X- 视x,y为常数,对求导得:指数函数导数公式 yIn x y
【例4】求函数 z 的偏导数。 y u = x ; −1 = z y x z y x u 〖解〗视y,z为常数，对x求导得： 视x,z为常数，对y 求导得： □ 例4 [幂函数导数公式] ; ln ln z y z y x z x z y y x x y u = = [指数函数导数公式] 视x, y 为常数，对z求导得： . ln ln 2 z y z y x z y x z y z x x z u = − = [指数函数导数公式]
元可导函数的四则运算求导法则推广为多元 可导函数的四则运算偏导法则: 设f(xy)和g(xy)均为可导函数,则 af a ar (f±g)=ax (g) Or '8+rog af fg
一元可导函数的四则运算求导法则推广为多元 可导函数的四则运算偏导法则： 设f(x,y)和g(x,y)均为可导函数，则 ( ) ; x g x f f g x = ( ) ; x g g f x f f g x + = 2 g x g g f x f g f x − =
三、高阶偏导教 一元函数满足条件可以求其高阶导数,且各高 阶导数只有一个。 多元函数满足条件也可以求高阶偏导数,但其 各高阶偏导数的个数随阶数升高而迅速增加。 设二元函数显函数z(x2y)在点x2y)处或区域D 内满足存在高阶偏导数的条件,则
一元函数满足条件可以求其高阶导数，且各高 阶导数只有一个。 三、高阶偏导数 设二元函数显函数z=f(x,y)在点(x,y)处[或区域D 内]满足存在高阶偏导数的条件，则 多元函数满足条件也可以求高阶偏导数，但其 各高阶偏导数的个数随阶数升高而迅速增加
二阶偏导数 y axe ax f∫ y az Oyax ax(Oy 仿此可定义三阶及以上偏导 av-,(x, y) 数 一阶偏导数
z = f ( x , y ) f ( x , y ) xz = x f ( x , y ) yz = y = xz x x z2 2 = xz x y y z2 = yz y x x z2 = yz y y z2 2 仿此可定义三阶及以上偏导数 二阶偏导数 一阶偏导数 二元函数高阶偏导数