第二节函数极限的性质 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合
第二节 函数极限的性质 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
六种极限 lim f(x) lim f(x); x→+ x→>x0 lim f(x); im f(e); x→x lim f(); lim f(r); x→ x→x
六种极限 lim f (x); x→+ lim f (x); x→− lim f (x); x→ lim ( ); 0 f x x→x lim ( ); 0 f x x x → + lim ( ); 0 f x x x → −
函数极限的性质 1局部有界性 定理若当x→x时f(x)有极限,则存在x 的一个邻域U/(x,在此邻域内∫(x)有界 2唯一性 定理若im∫(x)存在,则极限唯
一 函数极限的性质 1.局部有界性 定 理 若 当x → x0时 f (x) 有极限,则存在 x0 的一个邻域 ( ) 0 0 U x ,在此邻域内f (x) 有界. 2.唯一性 定理 若lim f (x)存在,则极限唯一
3局部保号性 定理若limf(x)=A,且4>0(或A<0), 则彐6>0,当x∈U"(x,)时,f(x)>0(或f(x)<0) 推论若8>0,当x∈U"(x0,时,f(x)≥0(或(x)≤0, 且lmf(x)=A,则A≥0或A≤0) x→>x0 4局部保不等性 设imf(x)与limg(x)都存在,且在某邻域 定理 x→>xo x→>xo U°(x0;δ肭有f(x)≤g(x),则imf(x)≤img(x)
, x U x , , f x f x . lim f x A, A A x x 0 ( ) ( ) 0( ( ) 0) ( ) 0( 0), 0 0 0 = → 则 当 时 或 若 且 或 定理 lim ( ) , 0( 0). 0, ( , ) , ( ) 0( ( ) 0), 0 0 0 = → f x A A A x U x f x f x x x 且 则 或 推论 若 当 时 或 3.局部保号性 4.局部保不等性 ( ; ) ( ) ( ), lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 0 0 0 U x f x g x f x g x f x g x x x x x x x x x → → → → 内 有 则 设 与 都存在，且在某邻域 定理
5夹逼准则 设limf(x)=img(x)=A,且在某U(x0;肭有 x→x x→x f(x)≤h(x)≤g(x) 则lim(x)=A x→x 本定理既给出了判别函数极限存在的方法;又提供 了一个计算函数极限的方法
5.夹逼准则 本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供 了一个计算函数极限的方法。 lim ( ) . ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) , ( ; ) 0 0 0 0 0 h x A f x h x g x f x g x A U x x x x x x x = = = → → → 则 设 且在某 内 有