第三节函数极限存在的条件 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合
第三节 函数极限存在的条件 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
函数极限与数列极限的关系海涅定理) 定理f(x)在U(x0;δ肭内有定义,mf(x)=A,分 x→x 任意含于U(x;6)数列xn},若 lim x=x且xn≠x, n→0 则有lim∫(xn)=A n→0 注:本定理有如下几点注释: 1本定理建立了函数极限与数列极限的关系,将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2本定理通常用来证明函数极限的不存在性
函数极限与数列极限的关系(海涅定理) lim ( ) . ( ; ) { }, lim , ( ) ( ; ) lim ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 f x A U x x x x x x f x U x f x A n n n n n n x x = = = → → → 则 有 任意含于 数 列 若 且 在 内有定义， 定理 注： 本定理有如下几点注释： 1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性
证∵lim∫(x)=A v>0,38>0,使当0<x-x0<8时,恒有 ∫(x)-A<E. 又∵imxn=x0且xn≠x0, n→0 对上述δ>0,豆N>0,使当n>N时,恒有 0< 0/<8 从而有f(xn)-A<8,故imf(xn)=A x→0
证 ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A 使当 x x 时 恒有 f x A x x = → lim ( ) 0 0 . 0, 0, , 0 − x x N n N n 对上述 使当 时 恒有 f (x ) − A , 从而有 n lim f (x ) A. n x = → 故 lim , xn x0 xn x0 n = → 又 且
例如,lim sInd SIn x→>0 lim nsin -=1 n→0 2 n+1 lim√nsin SIn n→0 n→0 n+1 2 n
例如, x x y sin 1 = sin lim 0 = → x x x 1, 1 lim sin = → n n n 1, 1 lim sin = → n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 = + → + n n n n n
例1证明 lim sin不存在 x→>0 证取{xn} nT V=SIn x limx=0,且x,≠0; -0.75-0.5}0.2 0.75 n→0 取{}=1 4n+1 ,Iimx=0,且xn≠0; n→0 T 2
x y 1 = sin 例 1 . 1 limsin 0 证明 不存在 x→ x 证 , 1 = n 取 x n lim = 0, → n n x 0 ; 且 x n , 2 4 1 1 + = n 取 x n lim = 0 , → n n x 0 ; 且 x n