第一节函数极限概念 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合
第一节 函数极限概念 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数Mx当x→>+∞时的变化趋势
x . x sin x 观察函数 当 → + 时的变化趋势 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 x x y sin =
问题:函数y=∫(x)在x→>+的过程中,对 应函数值∫(x)无限趋近于确定值A 通过上面的观察 当x无限增大时,∫(x) sIn 无限接近于0 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近 f(x)-A<c表示f(x)-4任意小 x>X表示x→+6过程
问题:函数 y = f ( x)在x → + 的过程中, 对 应函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; x X 表示x → +的过程. 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 通过上面的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近
1定义 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多么小), 总存在着正数X,使得对于适合不等式>X的 切x,所对应的函数值∫(x)都满足不等式, f(x)-A<8 那末常数A就叫函数∫(x)当x→>+时的极限, 记作 linf(x)=A或f(x)→4当x→+∞) "8-X"定义im∫(x)=A兮 x-0 v>0,3X>0,使当x>利时恒有f(x)-A<E
1. 定义 : " − X"定义 0,X 0,使当x X时,恒有 f (x) − A . lim x→+ f (x) = A 定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 ,使得对于适合不等式 的一 切 , 所对应的函数值 都满足不等式, 那末常数 就叫函数 当 时的极限, 记作 X x X x f (x) f (x) − A A f (x) x → + ( ) = ( ) → ( → +) →+ lim f x A f x A x x 或 当
2另两种情形: 1.x→-0情形:limf(x)=A x→-0 vE>0,X>0,使当x<-X时,恒有f(x)-A<6 2x→∞情形:mf(x)=A vE>0,丑X>0,使当|xX时,恒有f(x)-A<E 定理:limf(x)=A分limf(x)=A且lim∫(x)=A x→0 x→+0
. x → 情形 : 0 2 0, X 0,使当| x | X时,恒有 f (x) − A . . x → − 情形 : 0 1 f x A x = →− lim ( ) 0,X 0,使当x −X时,恒有 f ( x ) − A . lim f x A x = → ( ) 2.另两种情形: 定理:lim x→ f (x) = A lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+ 且 →−