三、二元函教极限 定义2设函数z=f(x,y)在点Px02y0的邻域内有定 义.如果对于任意的正数,均有正数δ存在使得对满足 04PP|√(x-x1)2+(y-)2< 的一切点P(xy)恒成立 f(x,y)-ake 则称常数A为函数(x2y)当点x2y趋向(x时的二重 极限,记为 lm f(x,y)=A y->yo
三、二元函数极限 定义2 设函数z=f(x,y)在点P0 (x0 ,y0 )的邻域内有定 义. 如果对于任意的正数ε,均有正数δ存在,使得对满足 = − + − 2 0 2 0 0 0 | PP | (x x ) (y y ) 的一切点P(x,y)恒成立 | f (x, y) − A| 则称常数A为函数f(x,y)当点(x,y)趋向(x0 ,y0 )时的二重 极限,记为 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0
1、二重极限存在的充要条件是动点(x2y)以任何 方式(方向,曲线)趋向定点(x0,y0)时,相应的极限均存在 且相等; 2、当动点(x2y)以某种方式趋向定点(x0y0)时, 相应的极限不存在,或以两种方式趋向定点(x020) 时,相应的极限虽均存在但不相等,则二重极限不 存在。 3、有关极限的运算法则和重要极限等可类似地 在重极限中加以应用
1、二重极限存在的充要条件是动点(x,y)以任何 方式(方向,曲线)趋向定点(x0 ,y0 )时,相应的极限均存在 且相等; 说明 2、当动点(x,y)以某种方式趋向定点(x0 ,y0 )时, 相应的极限不存在，或以两种方式趋向定点(x0 ,y0 ) 时,相应的极限虽均存在但不相等，则二重极限不 存在。 3、有关极限的运算法则和重要极限等可类似地 在重极限中加以应用
【例3】求下列极限: SIn y 20√x+1-1 m x->0 D y->a 〖解〗(1)重要极限+极限四则运算法则 lim sIndy -lin sin xy lm y=1-a=a x->0 x x→0xyx →a 法则(2)有理化+极限四则运算法则+复合函数极限 =lm一 x(yxy+1+1) x→0√xy+1-1 y→>0 3(√xy+1-1)√xy+1+1) imn(√xy+1+1)=/im(xy+1)+1=2 0 x→>0
【例3】求下列极限： (1) ;(2) . x xy y a x sin lim 0 → → 1 1 lim 0 0 + − → → x y x y y x 〖解〗(1)重要极限+极限四则运算法则 y x y x y y a x y a x → → → → = 0 0 lim sin lim x xy y a x sin lim 0 → → =1a = a (2)有理化+极限四则运算法则+复合函数极限 法则 1 1 lim 0 0 + − → → x y x y y x ( 1 1)( 1 1) ( 1 1) lim 0 0 + − + + + + = → → x y x y x y x y y x lim ( 1 1) 0 0 = + + → → x y y x lim( 1) 1 0 0 = + + → → y x x y = 2. □ 例3
四、二元函狼 定义3如果mf(x,y)=f(x0,y0),则称函数 x→ y=>Vo 函数zf(x,y)在点Px02y)处连续 二元函数的间断点可以形成一条曲线。 类似于闭区间上一元连续函数所具有的性质有界 定理,最值定理,介值定理在有界闭区域上二元连续 函数也同样成立。 多元连续函数的四则运算、复合函数仍为连续函数; 多元初等函数在其定义区域内连续
四、二元函数连续性 定义3 如果 lim ( , ) ( 0 , 0 ) ，则称函数 0 0 f x y f x y y y x x = → → 函数z=f(x,y)在点P0 (x0 ,y0 )处连续。 二元函数的间断点可以形成一条曲线。 类似于闭区间上一元连续函数所具有的性质[有界 定理，最值定理，介值定理]在有界闭区域上二元连续 函数也同样成立。 多元连续函数的四则运算、复合函数仍为连续函数； 多元初等函数在其定义区域内连续
【例4】设函数 xy x+ f(x,y)=x+y y x2+y2=0, 讨论其在点(0,0)处的极限和连续性 〖解】因为(0,0)是分段函数的分界点,且 lim f(x, y)=lm-3 xy =lim0=0: X x-+ XV lim f(x, y)=lim 2 lim o x+ y→>0 0 y-) 但由此并不能确定所求极限存在与否
【例4】设函数 + = + = + 0, 0, , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 讨论其在点(0,0)处的极限和连续性. 〖解〗因为(0,0)是分段函数的分界点,且 例4 lim ( , ) lim lim 0 0; 0 2 2 0 0 0 0 = = + = → = → = → x y x y x x y x y f x y lim ( , ) lim lim 0 0; 0 2 2 0 0 0 0 = = + = → → = → = y y x y x x y x y f x y 但由此并不能确定所求极限存在与否