4、有界集与无界集 如果平面集E可以含于某个以原点为圆心的圆内 则称E为有界集;否则称之为无界集 y
如果平面集E可以含于某个以原点为圆心的圆内, 则称E为有界集;否则称之为无界集. 4、有界集与无界集 O x y O x y
二、多元函教概☆ 定义1设有三个变量xy、z平面点集D。 如果对于任意的(xy)∈D,变量桉按一定规律均有 唯一确定的值与之对应,则称变量是变量xy的二元 函数,记为 z=f(x,y) 注意:1、二元函数定义域为平面点集;2、二元 函数的图形一般为曲面。 类似,可定义三元函数: f(x,y,z)(x,y,z)∈2cR
二、多元函数概念 定义1 设有三个变量x、y、z和平面点集D。 如果对于任意的(x,y)∈D，变量z按一定规律均有 唯一确定的值与之对应，则称变量z是变量x,y的二元 函数，记为 z = f (x, y) 注意：1、二元函数定义域为平面点集；2、二元 函数的图形一般为曲面。 类似，可定义三元函数： ( , , ) ( , , ) . 3 u = f x y z x y z R 二、多元函数概念
般,可定义n元函数: l=f(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,xn)∈9cR” 二元及其以上函数称为多元函数,或n元函数。 由一元函数推广到多元函数,除了形式上的变化 外,应特别注意本质上的一些变化。例如,可微、可 导、连续与极限等概念之间的关系在多元函数中与一 元函数已经大不相同。 由一元函数推广到多元函数所发生的本质变化主 要表现在一元函数到二元函数之间,至于二元函数与 三元及其以上函数之间没有本质差异,只是描述的空 间维数上有所变化
由一元函数推广到多元函数，除了形式上的变化 外，应特别注意本质上的一些变化。例如，可微、可 导、连续与极限等概念之间的关系在多元函数中与一 元函数已经大不相同。 一般，可定义n元函数： ( , , , ) ( , , , ) . 1 2 1 2 n u = f x x xn x x xn R 二元及其以上函数称为多元函数，或n元函数。 由一元函数推广到多元函数所发生的本质变化主 要表现在一元函数到二元函数之间，至于二元函数与 三元及其以上函数之间没有本质差异，只是描述的空 间维数上有所变化。 多元函数
一元函数和多元函数可以统一定义为点函数 u=f(P)P∈gcR 【例1】求下列函数的定义域: (1)z=m(x+y-1)(2)=Va2-x2-y2-2 〖解〗(1)要使函数有意义, 必需 y x+y-1>0 x+y-1>0 故得函数定义域为 D={(x,y)x+y-1>0}
x + y −1 0 点函数（函数的统一定义） 一元函数和多元函数可以统一定义为点函数： ( ) . n u = f P P R 【例1】求下列函数的定义域： （1） z = ln( x + y −1) ；（2） 。 2 2 2 2 u = a − x − y − z 〖解〗（1）要使函数有意义， 必需 x + y −1 0 故得函数定义域为 O x y 1 1 D ={( x, y)| x + y −1 0}
(2)要使函数有意义,必需 a -x-y ≥0 故得函数定义域为 ={(x,y,z)|x2+y2+z2≤ 例2】已知 f(x+y,x-y)=x2-y2+1 求f(x,y) 解】令 LL=x+y,1=x-1, 可得 f(,y)=l+1 故 f(x, y)=xy+I
（2）要使函数有意义，必需 0 2 2 2 2 a − x − y − z 故得函数定义域为 {( , , )| }. 2 2 2 2 = x y z x + y + z a 例1,例2 【例2】已知 ( , ) 1 2 2 f x + y x − y = x − y + 求 f (x, y). 【解】令 u = x+ y,v = x− y, 可得 f (u,v) = uv +1, 故 f (x, y) = x y+1. □