(6.4) [x1x2,xn].二次型(63)可以用矩阵 乘积形式简单表示为 f(x,x2…,x)=∑∑anxx1=XAX(65) 6 2021/2/20
2021/2/20 6 记 11 12 1 21 22 2 1 2 , (6.4) n n n n nn a a a a a a A a a a = 1 2 1 1 ( , , , ) (6.5) n n T n ij i j i j f x x x a x x X AX = = = = X=[x1 ,x2 ,...,xn ] T . 二次型(6.3)可以用矩阵 乘积形式简单表示为
f(x,x2,…,xn) ai ; =X Ar(6.5 把A称为二次型对应的矩阵,对于任意一个二 次型(6.1),总可以通过(6,2)使其写成对称形式 (6,3),并对应矩阵A.由(62)知,A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称方阵,且 f )=X'AYYBY 则必有A=B.故二次型和它的矩阵是相互唯 确定的.所以,研究二次型的性质转化为研究 A所具有的性质 7 2021/2/20
2021/2/20 7 把A称为二次型对应的矩阵, 对于任意一个二 次型(6.1), 总可以通过(6.2)使其写成对称形式 (6.3), 并对应矩阵A. 由(6.2)知, A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称方阵, 且 f(x1 ,x2 ,...,xn )=XTAX=XTBX, 则必有A=B. 故二次型和它的矩阵是相互唯一 确定的. 所以, 研究二次型的性质转化为研究 A所具有的性质. 1 2 1 1 ( , , , ) (6.5) n n T n ij i j i j f x x x a x x X AX = = = =
例1设 f(x,x2,x3,x)=2x2+x1x2+2x1x3+ +4x2x4+x2+512 则它的矩阵为 0 002 1010 0205 8 2021/2/20
2021/2/20 8 例1 设 2 1 2 3 4 1 1 2 1 3 2 2 2 4 3 4 ( , , , ) 2 2 4 5 f x x x x x x x x x x x x x = + + + + + + 1 2 1 0 2 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 2 0 5 A = 则它的矩阵为
个二次型YA也可看成n维向量a的一个函 数,即 fa=XAX. (66) 其中X[x1-x2,…是a在R的一组基下的坐 标向量.所以二次型XAX是向量a的n个坐标 的二次齐次函数.因此二次型作为n维向量a 的函数,它的矩阵是与一组基相联系的 9 2021/2/20
2021/2/20 9 一个二次型XTAX也可看成n维向量a的一个函 数, 即 f(a)=XTAX. (6.6) 其中X=[x1 ,x2 ,...,xn ] T是a在Rn的一组基下的坐 标向量. 所以二次型XTAX是向量a的n个坐标 的二次齐次函数. 因此二次型作为n维向量a 的函数, 它的矩阵是与一组基相联系的
如果a在两组基{e1,a2,…,Gn}和{m12,…,mn}下 的坐标向量分别为 Xx1x2…和YDv12…,yn], 又[m12,…,mn=[,2灬,n]C, 于是 ⅩCY (6.7) 如此则有二次型 fa=XAX-Y'(CTAc)? 68) 即二次型fa)在两组基{a,2,n}和 {n1,n2,n}下所对应的矩阵分别为 A和CZC 其中CC仍是对称阵,Y(CC)Y是yi2,,yn 的一个二次型 2021/2/20
2021/2/20 10 如果a在两组基{e1 ,e2 ,...,en}和{h1 ,h2 ,...,hn}下 的坐标向量分别为 X=[x1 ,x2 ,...,xn ] T和Y=[y1 ,y2 ,...,yn ] T , 又 [h1 ,h2 ,...,hn ]=[e1 ,e2 ,...,en ]C, 于是 X=CY. (6.7) 如此则有二次型 f(a)=XTAX=Y T (CTAC)Y, (6.8) 即二次型f(a)在两组基{e1 ,e2 ,...,en}和 {h1 ,h2 ,...,hn}下所对应的矩阵分别为 A 和 CTAC 其中CTAC仍是对称阵, Y T (CTAC)Y是y1 ,y2 ,...,yn 的一个二次型